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1、1,第10章 结构动力计算基础,广西大学土木建筑工程学院COLLEGE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE,单自由度体系的振动问题自由振动；强迫振动多自由度体系的振动问题自由振动；强迫振动,2,10.1 概述,动力计算研究结构在动力荷载作用下的变形和内力，即研究结构的动力反应。动力荷载：大小、方向、作用点随时间而变化的荷载。结构的动力反应不但与动力荷载的性质有关，还与结构本身的动力特性直接相关。结构本身的动力特性是结构本身固有的，如自振频率及振型。动力计算的特点：动力计算不能忽略惯性力，这是动力计算与静力计算的本质区别。内力和变形都是时间的函数。,一、动
2、力计算的特点,3,二、动力荷载的分类,（1）简谐性周期荷载（要掌握）规律通常为正弦或余弦函数形式：,（2）冲击荷载 荷载强度很大，但作用时间很短，如打桩、爆炸荷载。,（3）随机荷载 变化规律带有一定偶然性的非确定性荷载，如地震荷载和风荷载。,4,三、动力计算中体系的自由度,质点的位移就是动力计算的基本未知数。确定运动过程中任一时刻所有质量的位置所需的独立几何参数的数目，称为该体系的自由度。,基本假定：忽略轴向变形，认为杆不可伸长（压缩）的。,一、集中质量法。把连续分布的质量集中为几个质点，转化为有限自由度问题。,二、广义坐标法。用有限个广义坐标参数及给定函数组合来描述无限自由度问题。,结构动力
3、计算模型的简化方法,三、有限元法。把结构离散为若干单元和自由度计算。,5,三、动力计算中体系的自由度,一、附加链杆法。使质点不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系动力计算的自由度。,二、铰接体系法。将所有质点、刚结点及固定端支座变为铰结点，铰接体系的自由度数也就是动力计算的自由度。,质点体系的振动自由度确定方法：,集中质量法 简化为若干质点计算。忽略杆的轴向变形和质点的转动。,6,三、动力计算中体系的自由度,附加链杆法：对质点施加链杆约束，限制所有质点的位移，所施加的链杆数就是体系的自由度数。,2个自由度,1个自由度,2个自由度,4个自由度,2个自由度,7,铰接体系法：将所有质点、刚结点及固定
4、端支座变为铰结点后，使铰接体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自由度数。当体系有斜杆时可考虑采用。,4个自由度,三、动力计算中体系的自由度,8,三、动力计算中体系的自由度,注意：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。,三个集中质量，一个自由度,一个集中质量，两个自由度,9,四、阻尼,阻尼对结构的作用：一类是材料的非弹性变形，使变形能损失。一类是阻尼力，包括介质阻力和摩擦阻力。阻尼是振动的一个重要因素，而且很复杂，需化简;把各种阻尼综合作用假定为受一个阻尼力作用。并且假定阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，这一假定称为粘
5、滞阻尼理论。即：,R阻尼力；方向与运动速度的方向相反。c阻尼系数；v质点运动的速度；,10,2008年广西人才小高地申报,单自由度体系的振动,动力微分方程的建立单自由度体系的自由振动单自由度体系的强迫振动阻尼对振动的影响,研究单自由度体系的自振频率及在简谐荷载作用下的动力响应,重点掌握！,11,10.2 单自由度体系的自由振动,一、自由振动微分方程的建立1.刚度法：根据力的平衡条件,m,m,ky,质点m受力：弹性力：-ky，与位移方向相反；惯性力：，与加速度方向相反；根据达朗伯原理：,2.柔度法：根据体系变形协调条件,体系受惯性力：m的位移：,其中：k 刚度系数；使m产生单位位移需要施加的力；
6、柔度系数；单位力作用下m产生的位移：,12,10.2 单自由度体系的自由振动,二、自由振动微分方程的解,自由振动的组成：一部分由初始位移 y0引起的；另一部分由初始速度 v0引起的。,方程的解也可以写成：,微分方程：令：方程改为：,方程通解：,根据初始条件：t=0时，y=y0,v=v0可确定,方程的解：,根据初始条件可解得：,13,10.2 单自由度体系的自由振动,三、结构的自振周期,圆频率或频率：2 时间内的振动次数,单位:“弧度/s”；,自振频率f：单位时间的振动次数；单位:“Hz（赫兹）”,从微分方程的解：位移是周期函数；自振周期T：振动一周需要的时间；单位:“s（秒）”,自振周期的性质
7、：自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。质量越大，周期越大；刚度越大，周期越小。自振周期是结构动力性能的一个重要指标。,例1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为A，惯性矩为I，弹性模量为E。杆顶重物的质量为m。杆的质量忽略不计，计算水平振动的自振周期。,解：解题的依据,刚度系数：使质点产生单位位移需要施加的力。,柔度系数：质点在单位力作用下产生的位移。,M图,例2：求图示结构的重量集中为柱顶，W=20KN，试计算结构的自振周期。EI1=3.528107Nm2.,结构的刚度系数即使柱顶发生单位位移时，在柱顶需施加的力。,结构的自振频率和周期：,考虑梁AB的平衡可得：,16
8、,10.3 单自由度体系的强迫振动,m,ky,P(t),P(t),单自由度体系的强迫振动的微分方程：,可写成：,当荷载为简谐荷载时：,微分方程的解为：,为静荷载F作用下的振幅。,时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。,为动力系数。,m受力图,17,强迫振动时的动力放大系数,1)简谐动荷载作用在质点上，内力动力系数与位移动力系数相同。,动力系数:,只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法计算出相应的位移、内力，再乘以动力系数 即可。,先算出质体上的惯性力，再将惯性力及荷载幅值作用于结构上（如左图所示），然后按静力方法计算位移和内力。,2)简谐动荷载不作用在质点上，结构没有一个统一的动力系数。,例3
9、：图示梁l=4m，惯性矩I=7480 cm4，弹模E=2.1104KN/cm2。在跨中有电动机，重量Q=35KN，转速n=500r/min。电机转动的离心力P=10KN，离心力的竖向分力为Psinqt。不计梁的质量，试求梁振动的最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。,体系自由振动的频率：,动力系数：,为动力位移和动力应力的放大倍数。,荷载频率：,最大动位移（振幅）：,例3：图示梁l=4m，惯性矩I=7480 cm4，弹模E=2.1104KN/cm2。在跨中有电动机，重量Q=35KN，转速n=500r/min。电机转动的离心力P=10KN，离心力的竖向分力为Psinqt。不计梁的质量，试求
10、梁振动的最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。,体系自由振动的频率：,动力系数：,最大动位移（振幅）：,最大位移：等于静荷载和动荷载作用下的最大位移之和。,最大动弯矩：,最大弯矩：,20,最大位移和最大内力的计算,振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和；振幅为动位移的幅值（最大动位移）；最大内力为最大动内力与静内力之和。最大动位移和最大动内力要考虑动力系数的影响；动位移和动内力有正负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。,21,动荷载频率与结构受力特点的关系,当外荷载的频率很大时()，体系振动很快，因此惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，动荷载主要与惯性力平衡。,当外荷载
11、的频率很小时（)，体系振动很慢，因此惯性力和阻尼力都很小，动荷载主要与弹性力平衡。,当外荷载接近自振频率时()，弹性力和惯性力都接近于零，这时动荷载主要由阻尼力相平衡。,22,10.4 阻尼对振动的影响,m,ky,P(t),单自由度体系有阻尼振动的微分方程：,有阻尼自由振动：,微分方程的解为：,阻尼比是结构阻尼的重要参数。,23,阻尼对体系自振频率的影响,考虑阻尼时体系的自振频率,1为小阻尼，体系具有振动的性质；自振频率减小1（大阻尼）和=1（临界阻尼）时，体系不具有振动的性。通常很小，一般结构可取 r。,阻尼比的确定。利用有阻尼体系自由振动时振幅衰减的特性，可以用实验方法确定体系的阻尼比。,
12、其中yk与yk+n为相距n个周期的自由振动振幅。,10.4 阻尼对振动的影响,24,阻尼对动力系数的影响。在强迫振动中,阻尼起着减小动力系数的作用.简谐荷载作用下动力系数为：,当 的值在0.751.25之内（共振区）时，阻尼对降低动力系数的作用特别显著。,10.4 阻尼对振动的影响,25,3.单自由度体系，刚度系数与柔度系数的关系是：k=1/。（）,4.图示体系作动力计算时，若不计轴向变形影响则为单自由度体系。（）,2.动力位移总是要比静力位移大一些。（）,1.动力荷载对结构的影响不仅随时间而变化，而且使结构产生不容忽视的惯性力。（）,一、判断题,26,5.在动力计算中，以下两图所示结构的动力
13、自由度相同(各杆均为无重弹性杆)。(),一、判断题,27,2.已知一单自由度 体系的阻尼比为=1.2，则该体系自由振动时的位移方程曲线的形状可能为。（）,D,二、选择填空,A质量小，刚度小 B质量大，刚度大 C质量小，刚度大 D质量大，刚度小,1.体系的跨度、约束、质点位置不变，下列哪种况自振频率最小：（),D,28,1.图示三个单跨梁的自振频率之间关系分别为:,A.ac b B.ab c C.ba c D.c a b,A,二、选择填空,三、动力计算,29,a,k,EI=,例4.求图示体系中m1=2m，m2=m3=m。已知梁EI=，弹簧的刚度系数k，求质点的振动频率。,，,，,解：体系振动中的
14、力：,刚度法建立体系的动力方程：,30,a,k,例5.求图示体系中弹簧支座的最大动反力及梁的最大动位移。已知梁EI=，弹簧的刚度系数k，且有：,解：结构的动力及位移图：,C点的静力位移及相应弹簧反力：,弹簧的最大动反力：,梁的最大动位移：,31,例6.图示刚架的质量集中在横梁上，质量m=1000kg，忽略柱子的质量及杆的轴向变形，求横梁（柱顶点）的最大侧移，并画出刚架的动弯矩的幅值图。已知：,解：结构的刚度系数及频率：,横梁的最大静力位移：,动力系数：,梁的最大动位移：,结构的动弯矩幅值图：,200/9,200/9,200/9,200/9,200/9,200/9,有,例7.试求图示体系的自振频率及质量m的最大动力位移，设=0.5，弹簧刚度k=0.05EIl 3,各杆EI相同。（天津大学1996年）,动力方程：,33,习题1.求图示体系中弹簧支座的最大动反力及梁的最大动位移。已知梁EI=，弹簧的刚度系数k，且有：,解：结构的动力及位移图：,A点的静力位移及相应弹簧反力：,弹簧的最大动反力：,梁的最大动位移：,结构的动力方程：,34,习题2.求梁跨中的振幅及最大位移，并画出动弯矩幅值图。已知EI=常数，W=9kN，,解：1.作单位荷载作用下的弯矩图：,3.荷载幅值作用的跨中静位移：,4.动力系数：,5.梁的最大动位移及最大位移：,2.求柔度系数及自振频率：,6.结构的动弯矩幅值图：,
