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1、第三章 时域分析法,第一节 引言第二节 典型输入信号 控制系统的时域指标4-2 一阶系统的时间响应4-3 二阶系统分析4-4 用MATLAB进行瞬态响应分析ppt链接4-4用matlab进行瞬态响应分析.doc,第三章 时域分析法,第一节 引言 时域分析方法是根据系统的微分方程，采用拉氏变换法直接解出系统的时间响应，再根据时间响应来分析系统的稳定性、准确性和快速性能。用时域分析系统性能具有直接、准确、易于接受的特点，是经典控制理论中进行系统性能分析的一种重要方法。,第三章 时域分析法,第二节 典型输入信号 在时域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号，建立分
2、析比较的基础，这些信号称为控制系统的典型输入信号。因为系统对典型输入信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间存在着一定的关系，所以采用典型输入信号来评价系统的性能是合理的。,第三章 时域分析法,为便于进行理论分析与试验研究，对典型输入信号有如下要求：(1)能够使系统工作在最不利的情况下；(2)形式简单，便于解析分析；(3)在实际中可以实现或近似实现。工程中经常采用的典型输入信号有单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、谐和函数和单位加速度函数等。其数学描述与图形如图3-1所示。,图3-1 常用典型信号的函数及其图形,第三章 时域分析法,第三节 一阶系统的时域响应 控制系统的时间响应
3、由两部分组成：瞬态响应和稳态响应。瞬态响应是指系统从初始状态到最终状态的响应过程。稳态响应是指当时间t趋于无穷大时，系统的输出状态。一阶惯性系统是一阶系统的典型代表，其传递函数标准形式是：,第三章 时域分析法,一、一阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入Xi(t)=1(t)，对其进行拉氏变换得，Xi(S)=1/S，则 对上式进行拉氏反变换，得,第三章 时域分析法,得出如下重要结论：(1)一阶系统总是稳定的，无振荡；(2)系统响应由两部分组成，稳态响应1(t)和瞬态响应 组成,瞬态响应随着时间的增加逐渐衰减为0；(3)经过时间T曲线上升到稳态值的0.632高度。反之，用实验方法测出的时间响应曲线到达
4、稳态值的0.632时所用的时间，即是一阶系统的时间常数T；,第三章 时域分析法,重要结论：(4)经过时间3T-4T，响应曲线已达到稳态值的95%-98%，可以认为其调整过程已经完成，故一般取调整时间为（3-4）T；(5)在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T;(6)若通过实测某系统单位阶跃响应yo(t)，将1-yo(t)标在半对数坐标纸上，如果得出一条直线，则可判定该系统为一阶环节。,第三章 时域分析法,二、一阶系统的单位斜坡响应 一阶系统的单位斜坡响应.doc 当 t 充分大时，系统跟踪单位斜坡输入信号的误差为T。显然，惯性环节的时间常数越小，则该环节的稳态误差越小。一阶系统的单位斜坡响应是
5、一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线，稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数，即存在跟踪误差，其数值大小也等于T。,第三章 时域分析法,三、一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位斜坡响应.doc 一阶系统的典型输入响应特性与时间常数密切相关，时间常数越小、单位脉冲响应的衰减越快，单位阶跃响应的调整时间越小，单位斜坡响应的稳态误差及滞后时间也越小。例3-1 p79,第三章 时域分析法,第四节 二阶系统的瞬态响应分析,4-1 控制系统的时域指标,控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应单位阶跃响应确定的，通常以h(t)表示。实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应，如图
6、4-1所示：,所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。,一.上升时间tr 响应曲线从零首次上升到稳态值h()所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。二.峰值时间tp 响应曲线超过稳态值h()达到第一个峰值所需的时间。三.调节时间ts 在稳态值h()附近取一误差带，通常取,响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。ts越小，说明系
7、统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。四.超调量%响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即,超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。五.振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速性，而%和N反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度。其中ts和%是最重要的两个动态性能的指标。,4-2 一阶系统的时间响应,一.一阶系统的数学模型,结构图和闭环极点分布图为：T表征系统惯性大小的重要参数。二.一阶系统的单位阶跃响应,曲线,例1.一阶系统的结构图如图所示，若
8、kt=0.1,试求系统的调节时间ts，如果要求ts 0.1秒。试求反馈系数应取多大？,解：系统的闭环传递函数,三.一阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡响应曲线如图所示：引入误差的概念：当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实际稳态值与给定值之差。即：,一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。,4-3 二阶系统分析,一.二阶系统的数学模型 以前讲过的位置随动系统，就是一个典型的二阶系统。结构图可以简化为,得到二阶系统传递函数的标准形式,即：式中，为系统的阻尼比
9、wn为无阻尼振荡频率，简称固有频率（也称自然振荡频率）,闭环特征方程为：其特征根即为闭环传递函数的极点为1.当0 1时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根 系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。(如图a),2.当=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态。（如图b）3.当1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。（如图c）4.当=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。（如图d）下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。,二、二阶系统的单位阶跃响应 1、过阻尼情
10、况。当1时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，这时闭环传递函数可写为,式中：过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的一阶系统的串联。当系统的输入信号为单位阶跃函数时，,则系统的输出量为拉氏反变换得：,响应曲线如图：起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间ts，根据公式求ts的表达式很困难，一般用计算机计算出的曲线确定ts。,过阻尼二阶系统调节时间特性,从曲线可以看出，当,(临界阻尼）时，,当，时，当，时，由此可见，当，二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用3T1来估算。当 时，临界阻尼二阶系统，则 则
11、临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为 过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制系统一般不采用过阻尼系统。,2.欠阻尼情况 当0 1,二阶系统的闭环特征根为 Wn无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振荡频率。,当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输出量为,曲线：,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特征值实部-wn的大小，而衰减振荡的频率，取决于特征根虚部wd的大小。,角的定义,上图绘出了不同值下，二阶系统的单位阶跃响应曲线。直观地看，越大，超调量%越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之，越小，振荡性越强，平稳性越差。当0时，系统的零阻尼响应为：等幅振荡曲线，振
12、荡频率为wn wn称为无阻尼振荡频率。另外，若过大，如，系统响应迟缓，调节时间ts长，快速性差；若过小，虽然响应的起始速度较快，tr和tp小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间ts亦长。,具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。1.上升时间tr 由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取n=1。,当wn一定时，越小，tr越小；当一定时，wn越大，tr越小。2.峰值时间tp,对式两边求导，并令其=0，得：,代入 得：,tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所以应取n=1。于是当wn一定时，越小，tp越小；当一定时，wn越大，tp越小。3.超调量%,所以超调量是阻尼比的函数，与无
13、阻尼振荡频率wn的大小无关。,%与的关系曲线,增大，%减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比取在之间,相应的超调量25%-2.5%。4.调节时间ts 根据定义：不易求出ts，但可得出wnts与的关系曲线：,调节时间不连续的示意图,值的微小变化可引起调节时间ts显著的变化。,当=0.68（5%误差带）或=0.76（2%误差带），调节时间ts最短。所以通常的控制系统都设计成欠阻尼的。曲线的不连续性，是由于值的微小变化可引起调节时间显著变化而造成的。近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定ts。当=0.8时,常把 这一项 去掉。写成 即,在设计系统时,通常由要求的最
14、大超调量决定,而调节时间则由无阻尼振荡频率wn来决定。,可近似表示为：,两边取对数,得：,5.振荡次数N N的定义:在调节时间内,响应曲线穿越其稳态值次数的一半。Td为阻尼振荡的周期。,例1:已知单位反馈系统的传递函数为 设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放大器增益KA=200时,系统输出响应的动态性能指标。当KA增大到1500时或减小到KA=13.5,这时系统的动态性能指标如何?,解:系统的闭环传递函数为:,则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式,可以求得:,由此可见,KA越大,越小,wn越大,tp越小,%越大,而调节时间ts无多大变化。系统工作在过阻尼状态,峰值时间,超调量和振荡次数
15、不存在,而调节时间可将二阶系统近似,为大时间常数T的一阶系统来估计,即:调节时间比前两种KA大得多,虽然响应无超调,但过渡过程缓慢,曲线如下：,KA增大，tp减小，tr减小，可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。,例2.下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统,系统输出量同时受偏差信号 和偏差信号微分 的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。,系统开环传递函数,闭环传递函数:,等效阻尼比：,增大了系统的阻尼比,可以使系统动态过程的超调量下降
16、,调节时间缩短,然而开环增益k保持不变,它的引入并不影响系统的稳态精度,同时也不改变系统的无阻尼振荡频率wn。而且,比例微分控制使系统增加了一个闭环零点s=-1/Td,前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用。由于稳态误差与开环增益成反比,因此适当选择开环增益和微分器的时间常数Td,即可减小稳态误差,又可获得良好的动态性能。,例3.图:是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。解:系统的开环传递函数为,式中kt为速度反馈系数.为系统的开环增益。(不引入速度反馈开环增益)k有所减小,增大了稳态误差,因此降低了系统的精度。,闭环传递函数 显然，所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比,而不改变无阻尼振荡频率wn,因此,速度反馈可以改善系统的动态性能。,等效阻尼比：,在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增益减小,同时适当选择速度反馈系数kt,使阻尼比t增至适当数值,以减小系统的超调量,提高系统的响应速度,使系统满足各项性能指标的要求。,
