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1、,1.5 应用LINGO、MATLAB软件求解线性规划,1.5.1 应用LINGO软件求解线性规划,一、LINGO使用简介 LINGO软件是美国的LINDO系统公司（Lindo System Inc）开发的一套用于求解最优化问题的软件包。LINGO除了能用于求解线性规划和二次规划外，还可以用于非线性规划求解以及一些线性和非线性方程（组）的求解等。LINGO软件的最大特色在于它允许优化模型中的决策变量为整数，而且执行速度快。LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果，这里简单介绍LINGO的使用方法。LINGO可以求解线性规
2、划、二次规划、非线性规划、整数规划、图论及网络优化和排队论模型中的最优化问题等。,一个LINGO程序一般会包含集合段、数据输入段、优化目标和约束段、初始段和数据预处理段等部分，每一部分有其独特的作用和语法规则，读者可以通过查阅相关的参考书或者LINGO的HELP文件详细了解，这里就不展开介绍了。,LINGO的主要功能特色为：既能求解线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问题的能力；输入模型简练直观；运算速度快、计算能力强；内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述大规模的优化模型；将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为LINGO模型；并且能方便地与Excel
3、、数据库等其他软件交换数据。,LINGO的语法规定：（1）求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=或MIN=来表示；（2）每个语句必须以分号“；”结束，每行可以有许多语句，语句可以跨行；（3）变量名称必须以字母(AZ)开头，由字母、数字(09)和下划线所组成，长度不超过32个字符，不区分大小写；（4）可以给语句加上标号，例如OBJMAX=200*X1+300*X2；（5）以惊叹号“！”开头，以分号“；”结束的语句是注释语句;（6）如果对变量的取值范围没有作特殊说明，则默认所有决策变量都非负；（7）LINGO模型以语句“MODEL：”开头，以“END”结束，对于比较简单的模型，这两个语句可以省略
4、。,在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型：model:max=2*x1+3*x2;x1+2*x2=8;4*x1=16;4*x2=12;End,例1.5.1 用LINGO求解例1.1.2。解 例1.1.2建立的线性规划数学模型为（1.1.4）,选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解”按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGO Error Message”(错误信息)的窗口，指出在哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具体含义可查阅相关文献或LINGO的Help）。改正错误以后再求解，如果语法通过,LINGO用内部所带的求解程序求出模型的解,然
5、后弹出一个标题为“LINGO Solver Status”(求解状态)的窗口,其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信息,点击Close关闭窗口,屏幕上出现标题为“Solution Report”(解的报告)的信息窗口,显示优化计算(线性规划中换基迭代)的步数、优化后的目标函数值、列出各变量的计算结果。本例的具体内容如下：,Global optimal solution found at iteration:5Objective value:14.00000Variable Value Reduced CostX1 4.000000 0.000000X2 2.00000
6、0 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 14.00000 1.0000002 0.000000 1.5000003 0.000000 0.12500004 4.000000 0.000000,该报告说明：运行5步找到全局最优解，目标函数值为14，变量值分别为。“Reduced Cost”的含义是需缩减成本系数或需增加利润系数（最优解中取值非零的决策变量的Reduced Cost值等于零）。“Row”是输入模型中的行号，目标函数是第一行；“Slack or Surplus”的意思是松弛或剩余，即约束条件左边与右边的差值，对于“”的不等式，右边减左边的
7、差值为Slack（松弛），对于“”的不等式，左边减的右边差值为Surplus（剩余），当约束条件两边相等时，松弛或剩余的值等于零。“Dual Price”的意思是对偶价格（或称为影子价格，意义见2.5），上述报告中Row2的松弛值为0，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需设备8台时已经饱和，对偶价格1.5的含义是：如果设备增加1台时，能使目标函数值增加1.5。报告中Row4的松弛值为4，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需原材料乙8公斤还剩余4公斤，因此增加原材料乙不会使目标函数值增加，所以对偶价格为0。,在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型：Min=0.2*x1+0.7*x2+
8、0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x560;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x53;0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x58;X1+x2+x3+x4+x552;,例1.5.2 用LINGO求解例1.1.3食谱问题。解 例1.1.3食谱问题的数学模型为（1.1.6）,求解输出结果如下:Global optimal solution found at iteration:4Objective value:22.40000Variable Value Reduced
9、CostX1 0.000000 0.7000000X2 12.00000 0.000000X3 0.000000 0.6166667X4 30.00000 0.000000X5 10.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 22.40000-1.0000002 0.000000-0.58333333 4.100000 0.0000004 0.000000-4.1666675 0.000000 0.8833333,因此,每周每个动物的配料为饲料A2、A4、A5分别为12、30和10，合计为52，可使得饲养成本达到最小，最小成本为22.4元；不
10、选用饲料和的原因是因为这两种饲料的价格太高了，没有竞争力。“Reduced Cost”分别等于0.7和0.617，说明当这两种饲料的价格分别降低0.7元和0.62元以上时，不仅选用这两种饲料而且使得饲养成本降低。从“Slack or Surplus”可以看出，蛋白质和维生素刚达到最低标准，矿物质超过最低标准4.1；从“Dual Price”可以得到降低标准蛋白质1单位可使饲养成本降低0.583元，降低标准维生素1单位可使饲养成本降低4.167元，但降低矿物质的标准不会降低饲养成本，如果动物的进食量减少，就必须选取精一些的饲料但要增加成本，大约进食量降低1可使得饲养成本增加0.88元。,(1.5
11、.1),1.5.2 应用MATLAB求解线性规划,MATLAB（MATrix LABoratory）的基本含义是矩阵实验室，它是由美国MathWorks公司研制开发的一套高性能的集数值计算、信息处理、图形显示等于一体的可视化数学工具软件。它是建立在向量、数组和矩阵基础之上的，除了基本的数值计算、数据处理、图形显示等功能之外，还包含功能强大的多个“工具箱”，如优化工具箱（optimization toolbox）、统计工具箱、样条函数工具箱和数据拟合工具箱等都是优化计算的有力工具。在这里仅介绍用MATLAB6.5优化工具箱求解线性规划问题。一般线性规划问题的数学模型为,其中C是目标函数的系数行向
12、量（常数）,X 是n维列向量（决策变量），A,A1是常数矩阵，b,b1是常数向量，lb,ub是n维列向量分别表示决策变量X的下界与上界。在Matlab优化工具箱（Optimization Toolbox）中，求解(1.5.1)的程序如下：x，fval，exitflag，output，lambda=linprog(c，A，b，Aeq，beq，lb，ub，x0，options)说明：(1)A是不等式约束的系数矩阵，b是相应的常数列向量，若没有不等式约束，则均用 代替；(2)Aeq是等式约束的系数矩阵，beq是相应的常数列向量，若没有等式约束，则均用代替；(3)如果某个变量无下界，则用-inf表示；
13、如果某个变量无上界，则用inf表示，若决策变量 无下界，则lb用代替；若决策变量 无上界，则ub用代替；(4)x0是线性规划的初始解，这种设计仅对中规模算法有效，通常可以缺省。,(5)输出 是最优解，fval是最优值。(6)输出exitflag描述了程序的运行情况，若其值大于零，表示程序收敛到最优解；若其值等于零，表示计算达到了最大次数；若其值小于零，表示问题无可行解，或程序运行失败。(7)输出output表示程序运行的某些信息，如迭代次数(iterations)、所用算法(algorithm)、共轭梯度(cgiterations)等。(8)lambda表示解处的拉格朗日乘子，其中lower，
14、upper，ineqlin，eqlin分别对应于下界、上界、不等式约束与等式约束。,解 Matlab程序如下:c=-2,-1,1;A=1,4,-1;2,-2,1;b=4;12;Aeq=1,1,2;beq=6;lb=0,0,-inf;ub=inf,inf,5;x,z=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)运行后得到输出Optimization terminated successfully.x=4.6667 0.0000 0.6667z=-8.6667,例1.5.4 用MATLAB求解线性规划问题,（1.5.3）,解 首先转化为求最小值问题,Matlab程序如下c=-2,-3,
15、5;A=-2,5,-1;b=-10;Aeq=1,1,1;beq=7;lb=0,0,0;x,z=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb),运行后得到输出x=6.4286 0.5714 0.0000z=-14.5714键入 s=-z 运行后得到原问题的目标函数最大值 s=14.5714,用MATLAB求解例1.5.2的程序与输出结果为：c=0.2,0.7,0.4,0.3,0.5;A=-0.3,-2,-1,-0.6,-1.8;-0.1,-0.05,-0.02,-0.2,-0.05;-0.05,-0.1,-0.02,-0.2,-0.08;1,1,1,1,1;b=-60;-3;-8;52;lb
16、=0,0,0,0,0;x,z=linprog(c,A,b,lb),Optimization terminated successfully.x=0.0000 12.0000 0.0000 30.0000 10.0000z=22.4000,习题11.建立下列线性规划问题的数学模型（1）某工厂生产A、B、C三种产品，三种产品对于材料费用、劳动力和电力的单位消耗系数，资源限量和单位产品价格如表1.1所示。问应如何确定生产计划可使得总产值达到最大？建立线性规划问题的数学模型。,表1.1 生产计划问题的数据,（2）某疗养院营养师要为某类病人拟订一周的菜单。可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量以及这
17、类病人每周所需各种营养成分的最低数量如表1.2所示。另外，为了口味的需要，规定一周内所用卷心菜不多于2份，其他蔬菜不多于4份。若病人每周需要14份蔬菜，问选用每种蔬菜各多少份，可使生活费用最小。建立线性规划问题的数学模型。,表1.2 食谱问题的数据,（4）某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙，已知各种牌号的糖果中A、B、C的含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1.4所示，问该厂每月应生产这三种牌号的糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划数学模型。,表1.4 糖果厂生产计划数据表,表1.5 随 变化的数据表,求拟合以上
18、数据的直线，目标为使y的各个观察值同按直线关系所预期的值的绝对偏差总和为最小（即：误差绝对值之和最小）。建立线性规划问题的数学模型。（提示：对任意的，令：那么，）,2.将下列线性规划问题化成标准形,(1),(2),3.用图解法求解下列线性规划问题,(1),(2),(3),(4),(5),4.试将下述问题改写成线性规划问题,8.用单纯形方法求解下列线性规划问题,(1),(2),(3),(4),9某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制和每单位产品的获利如表1.6。问工厂应分别生产甲、乙产品多少单位才能使工厂获利最大？建立线性规划问题数学模型，并用单纯形方法求出最优解。,表1.6 资源配置问题的数据,11.用两阶段法求解线性规划问题。,(1),(2),(3),(4),12.某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，以及资源的限制和每单位产品的获利如下表1.7。问工厂应分别生产甲、乙产品多少单位才能使工厂获利最大？对应的最大利润是多少？建立线性规划问题的数学模型，并用单纯形方法求出所有的基础最优解。,表1.7 资源配置问题的数据,13.考虑下述线性规划问题,14用LINGO和MATLAB求解本章习题中的线性规划问题。,
