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1、,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,例1,解,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程
2、组,若记,或,记,即,得,得,则三元线性方程组的解为:,例,解,按对角线法则，有,例3,解,方程左端,例4 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,三、小结,思考题,思考题解答,解,设所求的二次多项式为,由题意得,得一个关于未知数 的线性方程组,又,得,故所求多项式为,一、概念的引入,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有 项，即 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,二、
3、n阶行列式的定义,定义,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、阶行列式是 项的代数和;,3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5、的符号为,例1计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例2 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,例3,同理可得下三角行列式,例4 证明对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,例5,设,证明,
4、证,由行列式定义有,由于,所以,故,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,思考题,已知,思考题解答,解,含 的项有两项,即,对应于,定理2 阶行列式也可定义为,其中 为行标排列 的逆序数.,证明,按行列式定义有,记,对于D中任意一项,总有且仅有 中的某一项,与之对应并相等;,反之,对于 中任意一项,也总有且仅有D中的某一项,与之对应并相等,于是D与,中的项可以一一对应并相等,从而,定理3 阶行列式也可定义为,其中 是两个 级排列，
5、为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.,解,下标的逆序数为,所以 是六阶行列式中的项.,下标的逆序数为,所以 不是六阶行列式中的项.,例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.,解,431265的逆序数为,所以 前边应带正号.,行标排列341562的逆序数为,列标排列234165的逆序数为,所以 前边应带正号.,例3 用行列式的定义计算,解,1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,2.行列式的三种表示方法,三、小结,其中 是两个 级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.,思考题,证明 在全部 阶排列中,奇偶排列各占一半.,思考题解答,将 个奇排列的前两个数对换,则这 个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以,故必有,
