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1、质心运动定理动量定理,第十章,质点运动微分方程：,求解单个质点动力学问题、简单质点系动力学问题,动力学普遍定理：,动量定理、动量矩定理、动能定理等,在许多实际问题中，并不需要求出质点系中每个质点的运动，而只有知道整个质点系运动的某些特征就够了。因此，本章将建立描述描述整个质点系运动特征的一些物理量（如动量、动量矩、动能等），并建立作用在质点系上的力与这些物理量的变化率之间的关系，这些关系统称为动力学普遍定理,质点系在力的作用下，其运动状态不但与各质点的质量有关，而且与质量的分布情况有关。,1 质心运动定理,质量中心是反映质点系质量分布特征的物理量之一。,（一）质量中心（质心或惯性中心）,问题：
2、,系统由几个刚体构成，每个刚体质心位置已知，1.系统质心如何确定？,2.质心的速度如何确定？,3.质心的加速度如何确定？,在重力场内，质心与重心重合,质心坐标,质心是永远存在，而重心只有在重力场中才存在,（二）质心运动定理,对每个质点,求和,系统外部对i质点的合力,系统内部其它所有质点对i质点的合力,质心运动定理,质点系的质心就像一个质点那样运动，这个质点的质量等于质点系的质量，而且在这个质点上作用着质点系的所有外力。,对于刚体系统：,结论：,2.无论刚体（系）、质点系做何形式的运动，此定理成立。,1.质心“像一个质点一样遵循牛顿第二定理”。,质心运动定理,3.质心的运动仅与质系的外力有关，与
3、内力无关。,根据质心运动定理，某些质点系动力学问题可以直接用质点动力学理论来解答。如刚体平移。刚体平移问题完全可以看作为质点问题来求解。,质点系的复杂运动总可以看作随同质心的运动与相对于质心的运动（相对于随同质心平移的坐标系的运动）两部分合成的结果。应用质心运动定理求出质心的运动，也就确定了质点系随同质心的平移。,直角坐标表示法：,自然表示法：,质心运动定理的表示方法,直角坐标表示法：,自然表示法：,质心运动定理的表示方法(刚体),特殊情形：,1、若,则,这表明若作用于质系的所有外力矢量和恒为零，则质心作惯性运动。,这表明若作用于质系的所有外力在某固定轴上投影的代数和恒为零，则质心速度在该轴上
4、的投影保持不变。,这两个结论称为质心运动守恒定理。,2、若,则,外力为零速度为常数,问题1：两个相同均质圆盘，初始时刻皆静止于光滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用，但作用位置不同（如图示），哪个圆盘跑得更快？,问题2：AB、AC为两相同的均质杆，每根质量为m。系统初始时刻静止于光滑的水平桌面，受大小为F的力作用如图示。问A点的加速度等于？,例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问m1下降h时，m4水平移动多少？,解：,1.建立坐标系,记四个物块的质心初始时刻坐标分别为x1、x2、x3、x4。,2.质心运动定理,而初始时刻系统静止,所有的外力都竖直向下，所以,初始时刻质心坐标：,m1下降
5、h时，假设m4向左水平移动S:,解：,例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问m1下降h时，m4水平移动多少？,记四个物块的质心初始时刻坐标分别为x1、x2、x3、x4。,Fy,例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速转动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。,解：,1.取坐标系Oxy,2.任意时刻质心坐标,Fx,W1,W3,W2,例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴垂直，另一端刚
6、连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速转动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。,解：,3.质心加速度,Fy,Fx,W1,W3,W2,4.质心运动定理,例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速转动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。,Fx,W1,W3,W2,解：,例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速转动，求螺栓和基础作用于电动
7、机的最大总水平力及铅直力。,Fx,W1,W2,W3,蛙式打夯机,振动块,解：另外一种解法,aC2,aC3,同理，求得,Fy,Fx,W1,W3,W2,a3,a2,解：,例3:质量m，半径r的均质圆轮在一个力偶作用下，沿水平面纯滚动。已知某时刻轮上最前点A的加速度为aA，方向如图。试求：（1）质心的加速度；（2）圆轮所受摩擦力的大小。,1运动分析(轮作平面运动)2、质心加速度,以O为基点,其中,解得,2.受力分析,3.质心运动定理,解：,例3:质量m，半径r的均质圆轮在一个力偶作用下，沿水平面纯滚动。已知某时刻轮上最前点A的加速度为aA，方向如图。试求：（1）质心的加速度；（2）圆轮所受摩擦力的大
8、小。,练习1：质量50kg，长度2 m的均质杆A端搁在光滑水平面上，另一端B与水平杆BD铰接并用铅直绳BE悬挂。已知系统静止于图示位置，在绳突然剪断瞬间，B点的加速度为7.35m/s2，方向铅垂向下。试求此瞬时水平面对AB杆的反力。BD杆质量不计。,解：,1.受力分析；,2.运动分析；,以B为基点，分析A点加速度：,再以B为基点，分析C点加速度：,解：,aCy,3.质心运动定理；,得：,练习1：质量50kg，长度2 m的均质杆A端搁在光滑水平面上，另一端B与水平杆BD铰接并用铅直绳BE悬挂。已知系统静止于图示位置，在绳突然剪断瞬间，B点的加速度为7.35m/s2，方向铅垂向下。试求此瞬时水平面
9、对AB杆的反力。BD杆质量不计。,2 质点系动量、冲量,1.质点的动量,2.质点系动量,质系在某瞬时的动量等于该瞬时质系所有质点动量的矢量和。,也等于质系质量与质心速度的乘积。,量纲：ML/T,单位：kgm/s 或 Ns,2 质点系动量、冲量,质点系动量,对于刚体系统，若各刚体质心的速度已知，则整个刚体系统的动量为：,例4：均质丁字杆重W，ABOD2a，已知，求杆在图示瞬时的动量。,OC=a/2,解：解法一,解法二,方向沿vC,先确定刚体的质心位置：,则：,由于AB部分质心在O点，因此动量为零，则：,方向沿vC,练习2：已知物体A的速度，求图示刚体系统的动量。设绳与轮间无滑动。,解：,R,2
10、质点系动量、冲量,1.常力的冲量：,冲量是力在一段时间内作用的累积的度量。物理学中称之为过程量。量纲及单位与动量相同。Kg.m/s 或N.s,2 质点系动量、冲量,元冲量,冲量,2.变力的冲量：,将上式向固定坐标轴上投影：,元冲量,冲量,2.变力的冲量：,在任一段时间内，合力的冲量等于所有分力的冲量的矢量和。,若作用于质点的力是若干个分力的合力，有：,2 质点系动量、冲量,例5：已知力F15kN，F22sin(t)kN，求二力在4s内的合冲量。,解：,3 动量（冲量）定理,质点,质点系,质点系的动量定理：质点系的的动量对时间的导数，等于作用于质点系的外力的矢量和,积分形式的质点系动量定理，也称
11、为质点系的冲量定理：质点系动量在某个时间间隔内的改变量等于质点系所受外力的冲量。,微分形式的质点系动量定理：质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力的矢量和。,若作用于质系上外力的矢量和恒为零，则质系动量守恒。,例6：三棱柱质量m2，置于光滑地面上；质量m1、半径r的圆柱在其上纯滚动，系统初始时刻静止。试求圆心C相对于三棱柱速度为vr时，三棱柱的速度。,解：由受力分析可知系统水平方向的动量守恒，即px=const。,由初始条件可知，px=0。,以C为动点，三棱柱为动系，可知：,质心的速度为绝对速度,例7:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另有一均质杆，长l，重W2，一端固连在
12、电动机轴上，并与机轴垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速转动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。,解：动量定理求解,例8：水流流过弯管时，在AB、CD面处平均流速分别为、（大小以m/s计），已知体积流量 qv(m3/s),水密度为（kg/m3）,若水流是恒定的即水流流过管内每一点的速度不随时间改变，因而流量是常量。求水流对弯管的动压力。,解：,对于水之类的流体，分析时总是假想取出其中的一部分作为质点系来考察。现在知道水流在AB、CD两断面处的速度，所以,取AB、CD两断面之间的流体ABCD作为考察的质点系。因为是根据速度的变化来求动压力，所以用动量定理来求解。设经过
13、t后，流体由ABCD位置运动到abcd位置.l流体在两个位置的速度不同，动量也相应改变，根据动量的改变可以求出管壁作用于流体的力，就是流体作用于管壁的力。,计算质点系动量的改变,因水流是恒定的，流量是常量，故在时间t内流经AB、CD两断面的体积都是qVt，质量都是 qVt，由于时间隔很小可认vAB=vab=v1,vCD=vcd=v2。因此,流体ABCD所受的外力重力P、管壁的约束力F、其他部分流体的作用力F1、F2,为使流体改变方向管壁必须作用于流体的力应为,动量定理建立了动量改变量与外力冲量间的关系，因此，一些求速度、外力和时间这些量之间关系的动力学问题，可用动量定理解决。应用是一般列出动量
14、定理或其守恒定律的投影式。只能求出约束力的主矢量，求不出作用点。,质心运动定理在形式上与动力学基本方程相同，因此在已知质心运动时来求外力或已知外力求质心的运动规律这些问题中，可考虑用质心运动定理或其守恒定理,应用质心运动定理解题步骤一般如下：,1、选定研究对象，根据题意，适当选取与已知条件和待求量有关的质点或质点系为研究对象。2、进行受力分析，画受力图。注意只分析质点系所受的全部外力（主动力和约束力）3、进行运动分析。建立坐标系，用运动学的方法来分析质点或质点系的运动，应注意动量定理及其守恒定律中所用的速度为绝对速度4、选择定理并建立方程,应用动量定理解题步骤一般如下：,1、明确研究对象，受力分析，画受力图2、建立坐标系3、动量定理（一般用投影式）,质心运动定理,质心守恒、动量守恒,
