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1、牛顿运动定律,第二章,在Galileo辞世当年，遗腹子I.N.出生于英格兰农耕家庭，少时并不起眼，爱动手。18岁进剑桥大学，1668年获硕士学位，次年任教授。1672年为皇家学会会员，1703年成终身会长。1699年任造币局长，两年后辞剑桥大学工作，1705年被封爵士。在力学领域贡献最大，其代表作自然哲学的数学原理(1687)是力学的经典著作；对数学(微积分,无穷级数,二项式定理)、光学(色谱,几何光学,干涉与衍射现象,粒子说)、热学(冷却定律)、声学、天文学等都有贡献。他的科研方法论在物理学乃至整个自然科学领域对后世影响深远；其哲学思想也导致了机械观盛行。勤奋；理论与实验兼修。与Leibni
2、tz关于微积分首创权之争是其为人瑕疵。,牛顿 Issac Newton（）英国物理学家,经典力学奠基人、集大成者.,Friedrich Engels：“牛顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学，由于进行光的分解而创立了科学的光学，由于创立了二项式定理和无限理论而创立了科学的数学，由于认识了力学的本性而创立了科学的力学。”,Newton：“如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在了巨人的肩上。”牛顿力学不只是牛顿一人的贡献，还包括这些“巨人”：Galileo Galilei(15641642)：力学、天文学、哲学;Johannes Kepler(15711630)：天文学;Ren Descart
3、es(15961650)：哲学、数学、物理学;Leonardo da Vinci(14521519)：美术、物理学、数学、天文、建筑、生物、生理、地质、气象；Christiaan Huygens(16291695)：力学、光学；Gottfried W.Leibnitz(16461716):数学,力学,哲学.发展：Leonhard Euler(17071783),J.R.dAlembert(17171783),J.-L.Lagrange(17351813),Sir W.R.Hamilton(18051865),质点动力学 概要,一、牛顿三定律的基本内涵及其适用条件；惯性系、量纲概念。（第二章）,
4、二、力的时间积累效应：动量定理、动量守恒律；冲量；碰撞问题。（第三章）,三、力的空间积累效应：动能定理、功能原理、机械能守恒定律；功、保守力、势能。（第四章）,牛顿定律,运动学：物体运动状态的描述怎么运动动力学：物体运动状态改变的原因、条件、规律性,牛顿运动定律指出了物体运动状态变化的原因力的作用，并给出了定量关系和规律。牛顿运动定律是在多人的实验基础上总结出来的；针对质点的运动提出，也可应用于质点系和刚体。,牛顿运动定律只适用于惯性参考系（在非惯性系下，还需引入惯性力等效于一种引力）。牛顿运动定律只适用于低速（远小于光速）运动的宏观（非量子）体系；不过它的某些基本思想在Euler、Lagra
5、nge和Hamilton的一般推广形式下，可借鉴应用于微观量子系统。,2.1,注：,(1)表明任何物体都有保持其运动状态不变的性质惯性(inertia)；故又称“惯性定律”。,惯性的表征：质量。(质量的来源仍在研究),任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到其他物体对它作用的力迫使它改变这种运动状态为止。,1、牛顿第一定律(Newtons First Law),(2)指出了力是改变物体运动状态的原因。力的起源：物体间的相互作用,(3)定义了惯性系(inertial reference frame)。注：如果在某参考系中，一个不受力作用(或所受合外力为0)的物体能保持其静止或匀速直线运动状
6、态,则该参考系为惯性参考系,在经典力学中，人们认为物体质量始终保持不变。,表述一：物体受到外力作用时，所获得的加速度的大小与合外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。,表述二：动量为 的物体，在合外力 的作用下，其动量随时间的变化率应等于作用于物体的合外力。,2、牛顿第二定律(Newtons Second Law),注 其实此表述是后提出的，但更具有一般性。,(牛顿运动方程),(1)牛顿第二定律建立起了物体受力与物体运动之间的定量关系；,(2)确立了物体惯性的量度方法质量；物体质量越大,惯性越大,越不易改变运动状态,定义了惯性质量(inertial mass):牛顿第二
7、定律中对比于引力质量(gravitational mass):万有引力定律中实验上：二者相等，故常不区分；Einstein广义相对论引力理论中，则把这当成了基本原理。,注：,(5)是瞬时性关系；一般，力因时空而变。,(3)其中是物体所受的合外力；,(4)是矢量关系；,(6)牛顿第二定律只适用于惯性参考系。,(2)作用在不同的物体上；作用力和反作用力不是一对平衡力!,作用力和反作用力总是沿同一条直线，大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上。,力的作用是相互的；“同时存在，同时消失”。注：在微观量子场理论中，力的概念将被淡化，且相互作用的传递需要时间，不是超距、瞬间完成的。,3、牛顿第三定律(N
8、ewtons Third Law),注：,(1)作用力总是成对出现；,(3)作用性质相同，但作用效果不同。“打”与“被打”,(4)仅适用于惯性系、质点,牛顿运动方程只适用于质点模型；只适用于惯性参考系；只适用于低速运动的宏观物体。,例：质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为,式中t为从沉降开始计算的时间。,证明：取坐标，作受力图。,根据牛顿第二定律，有,牛顿定律的应用,初始条件：t=0 时 v=0,应用牛顿运动定律解题遵循的基本步骤和方法,1)选取所研究对象；,2)对所研究对象进行受力
9、分析。,3)根据问题的需要，建立相应的坐标系。,4)列出牛顿定律的坐标分量方程。,5)联立方程，根据题中初始条件求解。,a=0时人和小球的状态符合牛顿定律,结论：牛顿定律成立的参照系称为惯性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。,a0时人和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？,惯性系与非惯性系,根据天文观察，以太阳系作为参照系研究行星运动时发现行星运动遵守牛顿定律，所以太阳系是一个惯性系。,2.2 惯性系 非惯性系与惯性力,惯性力,地面参考系,惯性力,超重与失重,超重,失重,惯性离心力,地面参考系,转盘参考系,惯性离心力,物理学中的基本量,因物理
10、量之间有联系（定义、定理、定律、经验公式等），一个物理量的单位可能可以从其它物理量的单位推导，所以可以选取少数物理量作为基本量，其它物理量（称导出量）的单位可以从基本量的单位导出。,物理学中的物理量中只有个基本量长度(L)、时间(T)、质量(M)和电荷(Q)，其它都是导出量。,如导出量力：1 N=1 kg m s-2,根据：,2.3 物理量的单位与量纲（了解）,定义：表示一个物理量如何由基本量的组合所形成的式子。,量纲（dimensionality)：,某一物理量 的量纲（常用表示）：,获得方法：借助于物理量间关系(定义、定理、定律等),例，力：,电压：,角度：(无量纲),量纲作用：,1)可定
11、出同一物理量不同单位间的换算关系;,3)从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位。,2)量纲可用来检验文字、公式推导结果的正误;,4)从量纲分析有时还可以确定出物理规律(最多相差一个无量纲的常数)。,注意：,只有量纲相同的物理量才可以相加减；,物理公式两端的量纲必相同；,量纲相同的物理量数值不一定相同。,牛顿定律是瞬时关系,运动状态的变化非瞬时完成，要经历一个过程,相互作用也可能持续作用一段时间,2）相互作用在空间上的持续 力的空间累积,1）相互作用在时间上的持续 力的时间累积,涉及到动量、冲量的概念及其之间关系,涉及到动量功、能的概念及其之间关系,3.1动量、冲量、质点的动量定理（从简）,
12、由牛顿定律,有,-牛顿第二定律的微分形式,力在时间内的累积量,一、动量(Momentum):,定义：力在一段时间内的累积量称为冲量，即：,注意：1）力一般随时空坐标而变；2）冲量的方向不一定在力的方向,在给定的时间内，合外力作用在质点上的冲量等于质点在此时间内动量的增量。,二、冲量(Impulse):,三、质点动量定理:,因为内力，故：,3.2 质点系动量定理动量守恒定律（从简）,（Theorem of Mometum for a Particle System）,一、质点系的动量定理,由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量和为零。,质点系总动量的增量等于作用于该系统所有合外力的冲量,强调：只
13、有外力才能引起质点系总动量的改变。质点系内力的矢量合为 0,对系统总动量的改变无贡献，不过内力会使系统内各质点的动量重新分布。,质点系的动量定理：,推广到多质点系统，动量定理表达式为：,由质点系的动量定理：,动量守恒定律：当系统所受的合外力恒为0时，系统的总动量守恒。,二、动量守恒定律,1、质点系受合外力为 0，每个质点的动量可能变化，系统内的动量可以相互转移，但它们的总和保持不变。各质点的动量必相对于同一惯性参考系而言。,2、若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量为 0，则在该方向上动量守恒。,明确几点：,前者保证整个过程中动量守恒，后者只保证始末时刻动量相同。,5、动量守恒定律只适用于
14、惯性系。牛顿第二定律只适用于宏观低速情形，但动量守恒定律在微观、高速范围仍适用，是自然界最普遍、最基本的定律之一。,3、自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系统的内力外力，可近似认为动量守恒。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。,王注：动量守恒源自空间平移不变对称性，能量守恒源自时间平移不变对称性。,一、功,1、恒力的功,0、功的定义：力在质点位移方向的投影分量与位移大小的乘积，即为力对物体所做的功,（力的作用的空间积累效应）,位移无限小时：,dA 称为元功,元功质点发生无穷小位移的过程中，力所作的功,4.1 功 动能定理,解决方法：用微积分的方法,1)把路径无限分
15、割成许多小段，任取一小段位移（元位移）；,2)在这段位移上质点受的力可以近似看成是恒力，在该微过程中的元功为：,a,b,3)总功等于各段上元功的代数和，即：,2.变力的功(曲线运动):,力的功就是质点所受的力沿质点运动路径的线积分,4）在直角坐标系中功的解析式：,3）合力的功=分力的功的代数和,2）功是过程量，一般与路径有关。,说明：,1）功是标量，没有方向，但有大小正负。,5）作功与参照系有关。,例如：传送带将箱子从低处运到高处，地面上的人看摩擦力作功了，而站在传送带上的人看摩擦力没有作功。,3.功率,定义：力在单位时间内所作的功,（表征作功快慢的物理量）,（例：汽车爬坡换档）,解：（一维运
16、动问题，可以用代数形式）,例题 质量为2kg的质点在力(SI)的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,二、质点的动能定理(Theorem of Kinetic Energy),描写物体运动状态的物理量，称为动能(Kinetic Energy)。,质点的动能定理：,1)动能定理的实质，说明了力的空间积累效果是改变了物体的动能。,明确几点：,功是过程量，动能是状态量，动能定理建立起过程量功与状态量动能之间的关系。在计算复杂的外力作功时只须求质点始末两态的动能变化，即可求出该过程中外力对质点所做的功。,3)A为合外力对质点做的功
17、，或者说是所有外力对质点做的功的代数和。动能定理中的速度必须相对同一个惯性系。,4）通过做功，质点与外界进行能量交换。,如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，或者说，物体克服外力作功，是以减少自身的动能为代价的。,如果 外力对物体做正功，质点动能增加；,所以，动能反映物体因运动而具有的作功的本领。,例题 一链条总长为l，质量为m。放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则：1）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？2）链条离开桌面时的速率是多少？,解：(1)建坐标系如图,注意：摩擦力作负功！,(2)对链条应用动能定理：,前已得出：,
18、讨论：,1）计算时是设链条自下垂长度为a的状态释放，能够开始下滑。,不难判断，a需满足的条件为：,2）由结果可知，只与,而与总质量无关。,3）该题也可以由功能原理求解；若桌面光滑，也可以直接由机械能守恒求解，得出：,一、重力的功,4.2 保守力的功（从略）Work of Conservative Force,Potential Energy,重力所做的功只与始末点位置有关，而与质点运动路径无关,循环路径：,二、弹性力的功,弹性力所做的功只与始末状态有关，而与质点运动路径无关,一般情形：,三、万有引力的功,以 为参考系,的位置矢量为.,对 的万有引力为,由 点移动到 点时 作功为,保守力:力所作
19、的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末位置（状态），此力称为,四、保守力和非保守力,引力功,重力功,弹力功,库仑力功,非保守力:力所作的功与路径有关。（例如摩擦力、爆炸力等）,物体沿闭合路径运动 一周时,保守力对它所作的功等于零.此式也可作为保守力的定义,保守力做功改变的能量仅由系统内各物体之间的相互作用和相对位置所决定。这种能量称为系统的势能，用Ep表示。,（作功的结果是使系统的能量改变）,重力的功：,弹力的功：,万有引力的功：,一般：,4.3 势能（从略）,保守力的功与势能增量的关系：,势能是与物体间相互作用及相对位置有关的能量，它属于相互作用的系统整体。,保守力做的功等于相关势能增量
20、的负值,重力势能：,弹性势能：,万有引力势能：,势能有不确定性,对于弹性势能，通常规定弹簧处于自然状态（x=0）时为势能零点。,对于重力势能，通常选取某一参考平面（h=0）为势能零点。,对于引力势能，通常规定两物体相距无限远时为势能零点。,势能零点的选择,电势能，常选：两点电荷相距无限远时为势能零点；或根据方便任取零点（多对非点电荷情形）。,势能的性质,势能属于相互作用的系统共有(动能则属于质点自身)势能是由系统中物体之间相对位置决定的能量势能是相对的，势能差是绝对的 势能的值与势能零点的选择有关势能是系统状态的函数只有对保守力场才能引入相关势能的概念,势能（值）的定义,例引力势能,例弹性势能
21、,例重力势能,六、势能曲线,弹性势能曲线,重力势能曲线,引力势能曲线,理论分析及工程应用中势能曲线都十分有用,势能曲线提供的信息,质点在轨道上任意位置时系统所具有的势能值。,利用势能曲线的形状，可以立刻判定在某一范围 系统内保守力做功的大小。,由势能差可立即计算保守力做功大小。,势能减小，则保守力做正功。,保守力的方向沿着势能减小的方向。,在直角坐标系下,比较上式两边dx，dy，dz 的系数,势能曲线斜率的负值就表示保守力的大小。,矢量运算,全微分,有时也写作：,保守力等于相应势能梯度的负值,由势能计算保守力,其中算符,称为梯度算符,研究方法：先研究每一个质点，然后再对它们取和，从而得到质点系
22、所遵循的规律。,对其中第i个质点，动能定理可写为：,Ai是作用在第i个质点上的所有力对质点i所作的功，它既包括质点系以外其它物体所施的作用力外力的功Ai外，又包括质点系内其它质点所施的作用力内力的功Ai内。,一、质点系的动能定理,4.4 功能原理 机械能守恒定律（从简）,对所有质点求和：,为质点系的动能，用 表示.,质点系的动能定理,质点系的外力作功与内力作功的代数和，等于系统总动能的增量。,式中,注意：内力不能改变系统的总动量，但能改变系统的总动能。,因为内力总是成对出现，而一对作用力反作用力的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。,例:子弹射入墙中，墙对子弹的摩擦力作负功，但子弹对墙的摩擦
23、力不作功。,但是由于质点系内各质点间可以有相对位移，一般情况下，内力的功之和不一定为零，所以内力作功可以改变质点系的总动能。,二、功能原理,利用质点系的动能定理：,系统内部保守力的功和内部非保守力的功.,保守力作功等于势能增量的负值,其中内力作功的代数和项 可分为：,注意：,1）功能原理给出的是机械能的改变与功的关系，只须计算保守内力之外的其它力的功。,2）功能定理也只适用于惯性系。,定义：机械能为物体系的动能与势能之和。,质点系的功能原理：外力和非保守内力对质点系作功之和等于系统机械能的增量。,而动能定理给出的是动能的改变与功的关系，应计算包括保守力在内的所有力的功；,由质点系的功能原理：,
24、对于一个质点系统，当合外力和内部非保守力都不做功时，系统的机械能守恒。,即,三、机械能守恒定律,注意：,1.机械能守恒定律的条件：A外=0且A非保内=0（一直这样）,若 且，则,机械能守恒定律,3.质点系的机械能和机械能守恒定律，也适用于包含有定轴转动刚体的系统。,4.机械能守恒定律只是普遍的能量转换和守恒定律的特殊形式。,2.只有保守内力作功时，系统的动能与势能可以相互转换，且转换的量值一定相等，即动能增加的量等于势能减少的量，或势能增加量等于动能减少的量。,能量转换与守恒定律,在一个孤立系统内，有非保守力做功时，机械能不守恒。但能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。不论发生何种变化过程
25、，各种形式能量之间无论怎样转换，总的能量将保持不变。这就是能量转换和守恒定律。,能量守恒定律是自然界中的普遍规律。,能量守恒定律的意义远远超出了机械能守恒定律的范围，后者只是前者的一个特例（有条件下的特定能量形式的守恒关系）。一般的能量转化与守恒定律是无条件的。,1）守恒定律是关于变化过程的规律，其意义在于:,不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各个守恒定律的特点和优点。,2）牛顿力学中，当守恒定律条件不满足时，考虑用动量定理和动能定理，分析力的两种积累效应：,说明：,3）若研究物体的瞬时状态，只能用牛顿运动定律。,动量对时间的变化率,通常思考力学问题的优先顺序为：,牛顿运动定律,动量定理
26、冲量：,动能定理功：,动量守恒定律,机械能守恒定律,如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，物体 A 和 C,B 和 D 之间摩擦系数均不为零，首先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B，使轻弹簧压缩，后撤除外力，则 A 和 B 弹开过程中，对 A、B、C、D 组成的系统,（a）动量守恒，机械能守恒.（b）动量不守恒，机械能守恒.（c）动量不守恒，机械能不守恒.（d）动量守恒，机械能不一定守恒.,1、牛顿运动定律的适用范围,1)牛顿运动定律仅适用于惯性系；,2)牛顿运动定律仅适用于速度比光速低得多的物体；,3)牛顿运动定律一般仅适用于宏观物体。,4)牛顿第二定律只适用于质点(或可简化地看作质
27、点)的物体系统；,应用牛顿运动定律求解问题，一般有两种类型：,(1)已知运动求力（对应第一类运动学问题），(2)已知力求运动态（对应第二类运动学问题）。,牛顿定律的应用（略）,2、解题的基本步骤,选对象；查受力；看运动；列方程；解问题,1）确定研究对象，几个物体连在一起的须作隔离（同时注意它们之间的联系）；,4）选合适的坐标系,列方程（一般用分量式）；,3）分析选定物体的运动过程，确定加速度；,5）先用文字符号求解，后带入数据计算结果，讨论所得结果；注意矢量的方向性。,2）进行受力分析，可按照先重力、弹力、再摩擦力等的顺序画受力图；注意第三定律；,先看要解决什么问题（求什么），它与什么有关，再
28、看什么可用（已知量条件）、是否需要过度量（联立方程组间接测量）。尽量别求中间量的具体值（有利于量纲分析，以避免错误）。,牛顿方程应用的常用处理方法,实即动量定理,（一维问题）,实即动能定理,例 一根长为L，质量为M的柔软的链条，开始时链条静止，长为Ll 的一段放在光滑的桌面上，长为 l 的一段铅直下垂。(1)求整个链条刚离开桌面时的速率；(2)求链条由刚开始运动到完全离开桌面所需要的时间。,建立适当坐标系；在过程区间任选一元位移；写出元功，分析变量关系；积分计算功；分析结果的物理意义。,计算功的基本步骤,功的计算，关键在把握对元功的分析：不论力是在变还是位移的方向在变，我们都可只抓住运动过程中的一段元位移，在此元过程中可以将力和元位移都视为不变的，从而写出元功的表达式，此称微元法。,
