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1、圆的复习,通过图形的运动，研究了点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，并得出这些位置关系与圆的半径以及点与圆心、直线与圆心、圆心与圆心之间的距离有关。,本章利用圆的对称性，探索得出了圆的一些基本性质：在同圆或等圆的弧、弦与圆心角之间的关系；同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系。,在了解了直线与圆的位置关系的基础上，进一步认识了圆的切线垂直于经过过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；从圆外一点引圆的切线，它们的切线长相等。,圆中的计算,与圆有关的位置关系,圆的基本性质,一、知识结构,圆,二、主要定理,（一）、相等的圆心角、等弧、等弦之间的关系（二）、圆周角定理（三）、与圆
2、有关的位置关系的判别定理（四）、切线的性质与判别（五）、切线长定理,、垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧,2、母子相似,3、直径所对的圆周角是直角,三、基本图形（重要结论）,(一),、垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧,2、同弧所对的圆周角是圆心角的一半,(二),已知ABC内接于O，过点O分别作OD BC，OEAB，OFAC，则OD:OF:OE=（）,分析:1）找基本图形,2）在Rt BOD中，设半径为r,则 cosBOD=cosA=OD:r,cosCOF=cosB=OF:r,cosAOE=cosC=OE:r,A.sinA:sinB:sinC B.cosA:cosB:cosC C.tanA:tan
3、B:tanC D.cotA:cotB:cotC,B,BOD=BAC，COF=ABC，AOE=ACB；,切线长定理,母子相似,垂直于弦的直径平分弦,E,如图,若AB,AC与O相切与点B,C两点,P为弧 BC上任意一点,过点P作O的切线交AB,AC于 点D,E,若AB=8,则ADE的周长为_;,16cm,若A=70,则BPC=_;,125,过点P作O的切线MN,BPC=_;(用A表示),90-A,M,S ABC=C ABC r内,AD=AF=(b+c-a),BD=BE=(a+c-b),CE=CF=(a+b-c),.,(四)、RtABC的外接圆半径等于斜边的一半,A,ABC中,C=90,AC=6cm
4、,BC=8cm,则它 的外心与顶点C的距离是_;A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm,RtABC的内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半,已知ABC外切于O,(1)若AB=8,BC=6,AC=4,则AD=_;BE=_;CF=_;(2)若CABC=36,SABC=18,则r内=_;,(3)若BE=3,CE=2,ABC的周长为18,则AB=_;,S ABC=C ABCr内,1,8,4,6,3,5,1,7,ABCDADCB,(五)、相交两圆的连心线垂直平分公共弦,A,已知：O1和O2相交于A、B（如图）求证：O1O2是AB的垂直平分线,证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B O1A=
5、O1B O1点在AB的垂直平分线上 O2A=O2B O2点在AB的垂直平分线上 O1O2是AB的垂直平分线,半径分别是20 cm和15 cm的两圆相交，公共弦长为24 cm，求两圆的圆心距？,O1O2=O2C-O1C=16-9=7.,O1O2=O2C+O1C=16+9=25.,（六）如图，设O的半径为r，弦AB的长为a，弦 心距OD=d且OCAB于D，弓形高CD为h，下面的说 法或等式：r=d+h,4r2=4d2+a2 已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个，其中正确的结论的序号是()A.B.C.D.,C,r,h,a,d,四、小试牛刀1.根据下列条件,能且只能作一个圆的是()A.经过点A且
6、半径为R作圆;B.经过点A、B且半径为R作圆;C.经过ABC的三个顶点作圆;D.过不在一条直线上的四点作圆;2.能在同一个圆上的是()A.平行四边形四个顶点;B.梯形四个顶点;C.矩形四边中点;D.菱形四边中点.,C,C,3.两圆的圆心都是点O,半径分别r1,r2,且 r1OPr2,那么点P在()A.O内 B.小O内 C.O外 D.小O外,大O内 4.下列说法正确的是()A.三点确定一个圆;B.一个三角形只有一个外接圆;C.和半径垂直的直线是圆的切线;D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等.,D,B,5.与三角形三个顶点距离相等的点,是这个三角形的()A.三条中线的交点;B.三条角平分线的交
7、点;C.三条高线的交点;D.三边中垂线的交点;6.圆的半径为5cm,圆心到一条直线的距离是7cm,则直线与圆()A.有两个交点;B.有一个交点;C.没有交点;D.交点个数不定,D,C,7.若两圆的半径分别为R,r,圆心距为d,且满足R2+d2=r2+2Rd,则两圆的位置关系为()A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交,由题意:R2+d22Rd=r2 即:(Rd)2=r2 Rd=r Rr=d即两圆内切或外切,8.(苏州市)如图，四边形ABCD内接于O，若它的一个外角DCE=70，则BOD=()A35 B.70 C110 D.140,D,9、(广州市)如图，A是半径为5的O内的 一点，且OA
8、=3，过点A且长小于8的()A.0条 B.1条 C.2条 D.4条,A,过点A且弦长为整数的弦有()条,4,10、在等腰ABC中，AB=AC=2cm，若以A为圆心，1cm为半径的圆与BC相切，则ABC的度数为（）A、30 B、60 C、90 D、120,A,C,B,2,2,D,A,11、定圆0的半径是4cm,动圆P的半径是1cm,若 P和 0相切,则符合条件的圆的圆心P构成的图形是（）,解:(1)若0和P外切，则OPR+r=5cm P点在以O为圆心,5cm为半径的圆上；,(2)若0和P内切，则OP=R-r=3cmP点在以O为圆心,3cm为半径的圆上。,解：设大圆半径R=3x,小圆半径r=2x
9、依题意得：3x-2x=8，解得：x=8 R=24 cm，r=16cm 两圆相交，R-rdR+r 8cm d 40cm,12、两个圆的半径的比为2:3,内切时圆心距等于8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值 范围是（）,13.ABC中,A=70,O截ABC三条边所得的弦长相等.则 BOC=_.A.140B.135C.130D.125,E,M,N,G,F,D,B,C,A,O,BOC90+A,D,14、一只狸猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只狸猫应蹲在何处，才能最省力地顾及到三个洞口?,【解析】在农村、城镇上这是一个狸猫捉老鼠会遇到的一个问题，我们可以为这个小动物设计或计算出
10、来.这个问题应考虑两种情况：设三个洞口分别为A、B、C三点，又设A、C相距最远当ABC为钝角三角形或直角三角形时，AC的中点即为所求.当ABC为锐角三角形时，ABC的外心即为所求.,15.梯形ABCD外切于O,ADBC,AB=CD,（1）若AD=4,BC=16,则O的直径为_;,10,（2）若AO=6,BO=8,则SO=_;,8,16、如图,AB是半O的直径,AB=5,BC=4,ABC的角平分线交半圆于点D,AD,BC 的延长线相交于点E,则四边形ABCD的 面积是DCE的面积的()A.9倍 B.8倍 C.7倍 D.6倍,O,A,B,C,D,E,.,1,3,4,5,17、如图,AB是半圆O的直
11、径,CD是半圆O的直径,AC和BD相交于点P,则=()A.sinBPC B.cosBPC C.tanBPC D.tanBPC,A,C,D,B,P,.,O,B,18、如图,以O为圆心的两同心圆的半径分别是11cm和9cm,若P与这两个圆都相切,则下列说法正确的有()P的半径可以是2cm;P的半径可以是10cm;符合条件的P有无数个,且点P的路线是曲线;符合条件的P有无数个,且点P的路线是直线;A.1个 B.2个 C.3个 D.0个,19.如图RtABC中,AB=10,BC=8,以点为圆心,4.8为半径的圆与线段AB的位置关系 是_;,相切,设O的半径为r,则,当 _ 时,O与线段AB没交点;当_
12、时,O与线段AB有两个交点;当 _ 时,O与线段AB仅有一交点;,0r4.8,或r8,4.8r6,r=4.8 或6r8,四、综合应用 能力提升,1、在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.,【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图(1)和(2),图(1)中OC=120CD=80(mm)图(2)中OC=120CD=OC+OD=320(mm),2、已知AB是O的直径,AC是弦,AB=2,AC=,在图中画出弦AD,使得AD=1,求CAD的度
13、数.,A,C,B,45,60,15,CAD=105或15,说明:圆中的计算问题常会出现有两解的情况,在涉及自己作图解题时,同学们要仔细分析,以防漏解.,5.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为1，那么这条弦所对的圆周角为（),30或 135,3、在梯形ABCD中,ADBC,BCD=90,以CD为直径的圆与AB相切于点E,S梯形ABCD=21cm2,周长为20cm,则半圆的半径为()A.3cm;B.7cm;C.3cm或7cm;D.2cm,A,B,C,D,O.,.E,分析:基本图形:切线长定理,切线的性质与判定,直角梯形.,x,x,y,y,找等量关系:,2x+2y+2r=20(x+y)2r2=21
14、,x+y=7,r=3或x+y=3,r=7(不符合,舍去),A,4.(临汾)张师傅要用铁皮做成一个高为40cm，底面半径为15cm的圆柱形无盖水桶，需要铁皮 cm2（接缝与边沿折叠部分不计，结果保留）,1425,5.如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成一个圆锥模型，设底圆的半径为 r，扇形半径为R，则r与 R之间的关系为()A.R=2r B.C.R=3r D.R=4r,D,6.已知如图(1)，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，求小虫爬行的最短距离.,解：侧面展开图如图(2),(1),(2),21=，n=90SA=4，SC=2
15、AC=2.即小虫爬行的最短距离为25.,7、在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）现找出其中一种，测得C=90，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC的边上，且扇形的弧与 ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径。（只要画出图形，并 直接写出扇形半径）,C,A,B,分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角形边上相切的情况有两种（1）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切）（2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一斜边相切）并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）（1）与一直
16、角边相切可如图所示（2）与一斜边相切如图所示（3）与两直角边相切如图所示（4）与一直角边和一斜边相切如图所示,解：可以设计如下图四种方案：r1=4 r2=2 r3=2 r4=4-4,8、已知,ABC内接于O,ADBC于D,AC=4,AB=6,AD=3,求O的直径。,分析:证明ABEADC,引申:(1)求证:ABAC=ADAE;,F,(2)若F为弧BC的中点,求证:FAEFAD;,9、如图,在ABC中,A=60,AB=10,AC=8,O与 AB,AC相切,设O与AB的切点为E,且圆的半径为R,若O 在变化过程中,都是落在ABC内,(含相切),则x的取值范围是 _.,10,8,x,10,5,3,5
17、,2,LR内=8 5,R=9-,0R9-,10、一圆弧形桥拱，水面AB宽32米，当水面上升4米后水面CD宽24米，此时上游洪水以每小时0.25米的速度上升，再通过几小时，洪水将会漫过桥面？,解：过圆心O作OEAB于E，延长后交 CD于F，交CD于H，设OE=x，连结OB，OD，由勾股定理得 OB2=x2+162 OD2=(x+4)2+122 X2+162=(x+4)2+122X=12OB=20FH=4 40.25=16（小时）答：再过16小时，洪水将会漫过桥面。,解 两圆相交 R-r0 d-(R+r)0 4d-(R-r)d-(R+r)0 方程没有实数根,11、已知01和02的半径分别为R和 r
18、(Rr),圆心距为d,若两圆相交,试 判定关于x的方程x2-2(d-R)x+r2=0 的根的情况。,M,N,12、两同心圆如图所示，若大圆的弦AB与小圆相切，求证：AC=BC,3）连接AN，求证AN2=ACAB,1）若作大圆的弦AD=AB，求证：AD也与小圆相切；,2）若过C、E作大圆的弦MN，求证：点A为弧MN的中点；,引申：,ACNANB,13、（甘肃省)已知：如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，CE切O于C，AECE,交O于D.(1)求证：DC=BC；(2)若DC:AB=3:5,求sinCAD的值.,证明：连接BD.AB是O的直径,ADB=90.又AEC=90 BD/EC.EC
19、D=BDC.BC=CD又CAD=CABsinCAD=sinCAB=BC/AB=DC/AB=3/5.,14、已知，O1经过O2的圆心O2，且与O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交O2于点P，连结BP、BC.(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;(2)请猜想BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用),14、已知，O1经过O2的圆心O2，且与O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交O2于点P，连结BP、B
20、C.(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;,(2)请猜想BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用),（2）证明：连结O2A、O2B，则BO2A=ACB BO2A=2PACB=2PACB=P+PBCP=PBCBCP为等腰三角形.,15、(湖北省黄冈市)已知：如图Z4-3，C为半圆上一点，AC=CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F。(1)求证：AD=CD；(2)若DF=5/4，tanECB=3/4，求PB的长.,【分析】(1)在圆中证线段相等通常转
21、化为证明角相等。,(2)先证明 CD=AD=FD，在 RtADP中再利用勾股定理及 tanDAP=tanECB=3/4，求出DP、PA、CP，最后利用APCCPB求PB的长.,16、（连云港）已知，如图，O过等边ABC的顶点B、C，且分别与BA、CA的延长线交于D、E点，DFAC。(1)求证BEF是等边三角形(2)若CG2,BC4,求BE的长。,分析：1)由DFAC证明34,1,2,4,3,5,2)设法证明BFGFDE,BG：BF EF：DF,则x：6x：4,设法证明BCDF4.,17.如图直径为13的O1经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OAOB)的长分别 是方
22、程x2+kx+60=0的两个根.(1)求线段OA、OB的长(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CDCB时，求C点的坐标(3)在O1上是否存在点P，使SPOD=SABD？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由,OBOA，AB是O1的直径OA2+OB2=132，又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OAOB，132=(-k)2-260 解 之得：k=17,OA+OB0，k0故k=-17，于是方程为x2-17x+60=0,解方程得OA=12，OB=5.,(1)解：OA、OB是方程 x2+kx+60=0的两个根，OA+OB=-k，OAOB=60,(2)已知点C在劣弧OA上
23、，连结BC交OA于D，当OC2=CDCB时，求C点的坐标,解：连结O1C交OA于点E，OC2=CDCB，即OC/CB=CD/OC,又OCB=DCO，OCDBCO，COD=CBO，=O1COA且平分OA，OE=1/2OA=6，O1E=1/2AB=5/2，CE=O1C-O1E=4，C的坐标为(6，-4),(3)在O1上是否存在点P，使SPOD=SABD？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由,五、归纳总结,圆这一章涉及的知识点很多，之前学习的三角形、四边形、相似形、一元二次方程等知识都可以与圆的知识联系起来，综合运用。因此，同学们要通过学习本章内容锻炼自己分析问题的能力和综合运用的能力。与旧教材相比，华师版的教材删减了一些内容，中考中，将会更多地考查用运动的观点解题的能力、分类讨论数学思想等。关于几何证明，则关键是能从复杂的几何图形中发现、构造基本图形，善于将题目与题目之间建立联系，以融会贯通，举一反三。,
