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1、二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,二阶线性微分方程,问题:,1.二阶齐次方程解的结构,特别地:,例如,注:,解,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,所求通解为,特解的叠加原理,例如：,2.二阶常系数齐次线性方程解法,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,将其代入上方程,得,故有,特征方程,特征根,二、二阶常系数齐次线性方程解法,特征方程法:用常系数齐次线性方程的特征方程的根确定 通解.,1、有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,2、有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解
2、为,特征根为,=0,=0,3、有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,总结:,（04四08）求方程 y”-y=0的积分曲线，使其在点（0，0）处与直线y=x相切,解,特征方程为,解得,y(0)=0,y(0)=1=C1=C2=1/2,(03一29）下列微分方程中通解为y=(C1+C2x)e-3x的二阶常系数微分方程为()A、y”-6y+9y=0 B、y”+6y+9y=0 C、y”-6y+9y=1 B、y”+6y=0,B,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,二阶
3、常系数非齐次线性方程,3.二阶常系数非齐次线性微分方程,观察到方程,一、类型I,的特解形式,代入原方程，并消去ex，有,综上讨论,04一24)待定系数求微分方程 y”-2y+y=xex 特解y*时,下列特解设法正确的()Ay=(ax2+bx+c)ex B.y=x(ax2+bx+c)exCy=x2(ax+b)ex D.y=x2(ax2+bx+c)ex,C,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,例3,解,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,例4写出微分方程,的待定特解的形式.,二、类型II,其中：m=maxl,n,k是(+i)为特征值时取1,否
4、则取0。,1）i是对应齐次方程特征根,2）2i不是对应齐次方程特征根,解,对应齐方通解,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,例5,解,对应齐方通解,代入方程,例7,的三个解:,求满足初始条件,的特解.,一、,二、写出下列方程的特解形式,课堂练习,三 1),2),3),解1,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,解 2,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,解得,故原方程的通解为,即,解3,解,（）由题设可得：,解此方程组，得,（）原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,测验题,测验题答案,
