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1、第二章 点、直线、平面 之间 的位 置关系,2.1空间 点、直线、平面之间的位置关系,课前预习巧设计,名师课堂一点通,创新演练大冲关,读教材填要点,小问题大思维,考点一,考点二,课堂强化,课下检测,2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系,考点三,1异面直线(1)定义：把不同在 平面内的两条直线叫 做异面直线(2)画法：(通常用平面衬托),任何一个,2空间中两条直线的位置关系,3平行公理(公理4)与等角定理(1)平行公理：文字表述：平行于同一条直线的两条直线 这一性质叫做空间,互相平行,平行线的传递性,符号表述：.,ac,(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 或,
2、相等,互补,4异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的(或)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)范围：.(3)当 时，a与b互相垂直，记作.,锐角,直角,0 90,90,ab,1能否将异面直线理解为分别在两个平面内的直线或 平面内的一条直线与平面外的一条直线？提示：不可以2异面直线与平行直线有什么异同点？提示：其相同点是都没有公共点，不同点在于平行直线 可以确定一个平面，而异面直线不同在任何一个平面内,3.在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置 有关系吗？提示：根据等角定理可知，a与b所成角的大小与点O 的位置无关，
3、但是为了简便，点O常取在两条异面直线 中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段 的端点、中点等),4公理4的作用是什么？提示：证明空间两条直线平行5平行直线具有传递性，异面直线是否也有传递性？提示：不具有传递性，即当直线a与b异面，b与c异面，则a与c不一定是异面直线,例1在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC；(3)A1C与D1B；(4)DC与BD1；(5)D1E与CF.,自主解答(1)C平面ABCD，AB平面ABCD，又CAB，C1平面ABCD，AB与CC1异面(2)A1B1
4、AB，ABDC，A1B1DC.(3)A1D1BC且A1D1BC，则A1，B，C，D1在同一平面内，A1C与D1B相交(4)B平面ABCD，DC平面ABCD，又BDC，D1平面ABCD，DC与BD1异面,(5)设CF与DA的延长线交于G，连接D1G，AFDC，F为AB中点，A为DG的中点又AEDD1，GD1过AA1的中点E，直线D1E与CF相交,1判断两直线是异面直线的方法:(1)定义法：依据定义判断两直线不可能在同一个平面内(2)定理法：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用),(3)反证法：即假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假
5、设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而断定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断,1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的 位置关系是()Aac Ba和c异面 Ca和c相交 Da和c平行、相交或异面,解析：如图，在长方体ABCDABCD中，令AD所在直线为a，AB所在直线为b，由题意，a和b是异面直线，b和c是异面直线若令BC所在直线为c，则a和c平行若令CC所在直线为c，则a和c异面若令DD所在直线为c，则a和c相交答案：D,例2如图
6、，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：BMCB1M1C1.自主解答(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，MM1綊AA1，又AA1綊BB1，MM1BB1，且MM1BB1，四边形BB1M1M为平行四边形,(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角由等角定理得BMCB1M1C1.,法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形B1M1BM.同理可得四边形C
7、C1M1M为平行四边形C1M1CM，又B1C1BC，BCMB1C1M1.BMCB1M1C1.,在本例中，若N1是D1C1的中点，求证四边形M1N1CA是梯形 证明：如图所示，连结A1C1，M1，N1分别是A1D1，D1C1的中点，,1判断两直线是平行直线的方法:(1)定义法：两直线平行须满足：两直线在同一个平面内；两直线没有公共点(2)公理法(利用公理4)：要证两条直线平行，只须找到第三条直线与这两条直线都平行即可即要证ab，只须证ac，bc，就可得ab.,2在运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否
8、均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补,2如图，四面体ABCD的四个面分别为ABC、ACD、ADB和BCD，E、F、G分别是线段 AB，AC，AD上的点，且满足AEABAFAC AGAD.求证：EFGBCD.,证明：在ABD中，AEABAGAD，EGBD.同理GFDC，EFBC.又GEF与DBC方向相同，GEFDBC.同理EGFBDC，EFGBCD.,例3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求下列异面直线所成的角(1)AA1与BC；(2)A1B与AC.自主解答(1)AA1BB1，B1BC是异面直线A1A与BC所成的角 又B1BC90，异面直线AA1与BC所成的角为90.,(2)
9、连接A1C1，AA1C1C为平行四边形，ACA1C1，BA1C1是异面直线A1B与AC所成的角连接BC1，A1BC1是正三角形，BA1C160，异面直线A1B与AC所成的角为60.,求异面直线所成角的基本步骤(1)作即据定义作平行线，作出异面直线所成的角，作平行线时，若遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线(2)证证明这个角或其补角即为所求的角(3)求转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角,所以异面直线AD，BC所成的角为EMF的补角，即异面直线AD，BC所成的角为60.,分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是()A相交B异面 C平行 D相交或异面 错解根据条件可知两条直线的位置关系如图所示，故选B.错因本题中没有限制交点的个数，解答时只考虑到有四个交点的情形，没有想象到有三个交点的情形，如图示,正解如图(1)(2)也可以利用长方体模型：如图(3)长方体ABCDABCD中，画出面对角线BA和体对角线BD，BB和AD异面，直线BA和BD都与这两条异面直线相交，显然BA和BD相交；直线AB和BD都与这两条异面直线相交，而AB和BD异面 答案D,点击下列图片进入“课堂强化”,点击下列图片进入“课下检测”,
