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1、题型剖析,一、可分离变量的微分方程,二、一阶线性微分方程,三、几类可降阶的高阶微分方程,四、二阶（常系数）线性微分方程,五、微分方程的简单应用,六、简单的差分方程,例1,例2,典型例题,一、可分离变量的微分方程,首先看方程是否符合可分离变量的微分方程的形式，倘若不行则看其是否可以转化为分离变量的微分方程或奇次方程。,知识点,例求解微分方程,证 分离变量得：,.,两边积分得,求积分得,从而通解为,（显然 也包含在其中）,，,，,，,可分离变量的微分方程,分离变量,知识点,例 2 求方程 的通解,证,原方程得,分离变量得,从而有,因此,所以原方程的通解是,，,，,，,，,，,代入原方程得关于 和
2、的微分方程,可化为可分离变量的方程,齐次方程,二、一阶线性微分方程,先判断是否是一阶线性微分方程，再判断是齐次方程，还是非齐次方程，或是贝努力（Bernoulli）方程，然后求解。,例1,例2,典型例题,例求解一阶线性微分方程,知识点,解,.,知识点,由一阶线性非齐次方程通解公式有：,一阶线性微分方程,例 2 求微分方程 的通解,解,知识点,令,从而有,通解是,从而有,，,，,，,，,，,一阶线性微分方程,贝努力（Bernoulli）方程,一阶线性微分方程,贝努力,例1,例2,典型例题,三、几类可降阶的高阶微分方程,例求方程 的通解.,解,知识点,令 原方程可变为,由,两边积分得,.,型,型,
3、例解二阶微分方程,解,知识点,，,，,.,方程不显含,令,，再积分得,为满足初始条件的特解,，,，,，,，,型,型,例1,例2,典型例题,四、二阶（常系数）线性微分方程,例已知,解,知识点,设所求微分方程为,是某二阶线性微分方程的三个解，求此微分方程,的解，将其代入原方程有,又知,是其一个解，故,因此所求方程为：,.,，,，,，,二阶常系数线性微分方程,二阶常微分方程,例解二阶微分方程,解,知识点,.,相应的齐次方程为：,，,，,特征方程为:,特征根为:,所以齐次方程通解是：,代入原方程：,所以原方程通解为：,，,.,二阶常系数线性微分方程,二阶常微分方程,例1,典型例题,五、微分方程的简单应用,例1,解,从图中可以看出，阴影部分的面积等于曲边梯形 的面积减去,直角梯形 的面积，,两边求导，得：,解这个一阶线性方程，得：,所以曲线方程为,，,，,，,.,知识点,一阶线性微分方程,由题意画出,图8-1,一阶线性微分方程,例1,典型例题,六、简单的差分方程,解,齐次方程 的通解为,所以原方程通解为：,（为任意常数）,，,一阶常系数线性差分方程,知识点,一阶常差分方程,
