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1、高 等 数 学(下),期末复习,基本概念,基本定理,基本方法,第0章 空间解几与向量代数,向量的概念与运算,+,-,数乘,数量积,向量积;直角坐标系下向量的运算;向量的夹角,平行与垂直;平面,直线;曲面,柱面,投影柱面,旋转面,二次曲面图形;曲线,投影,参数方程.,1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量),2.向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.,一、向量的基本概念,1、向量加法,(1)平行四边形法则,设有(若起点不重合,可平移至重合).作以为邻边的平行四边形,对角线向量,称为的和,记作,(2)三角形法则,二、向量的加减法,2.向量加法的运算规律.,交换律,结合律,1
2、.定义,实数与向量的为一个向量.,其中:,当 0时,当 0时,当=0时,2.数与向量的乘积的运算规律:,结合律,分配律,三、数与向量的乘法,(方向相同或相反),设表示与非零向量同向的单位向量.则,四.空间直角坐标系与空间向量的坐标表示,1.空间直角坐标系的建立,o,z,x,y,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔坐标系，点O叫做坐标原点.,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,2.引入直角坐标系后,向量的运算:,两向量平行的充要条件.,1.方向角:非零向量a 与x,y,z 轴正向夹角,称为a 的方向角.,2.方向余弦:方向角的余弦 cos,cos
3、,cos 称为方向余弦.,3.向量的模与方向余弦的坐标表达式,向量的模与方向余弦的坐标表示式,cos2+cos2+cos2=1,a0,=(cos,cos,cos),设a0是与a同向的单位向量,设有两个向量 a、b,它们的夹角为,即:a b=|a|b|cos,定义:,五、向量的数量积,a b=ax bx+ay by+az bz,推论:两个向量垂直,ax bx+ay by+az bz=0,坐标表示式,(1)|c|=|a|b|sin,(2)c 与a、b所在的平面垂直,(即 c a且c b).,c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定.,则将向量c 称为 a 与 b 的向量积,记作:a b.,即:
4、c=a b,注:向量积的模的几何意义.,定义:,六、两向量的向量积,向量积的性质,a b=(aybz azby)i+(azbx axbz)j+(axby ay bx)k,向量积的坐标表示式,1 点法式方程,2 一般方程,3 截距式方程,七、空间平面方程,八、空间直线方程,1 一般方程,2 对称式方程,3 直线的参数方程,(为参数),4 直线的两点式方程,2显函数形式,十、空间曲线,1 空间曲线的一般方程,2 空间曲线的参数方程,十一.柱面 给定空间一定曲线，如果直线 沿曲线 平行移动，则动直线 所形成的曲面称为柱面；动直线 称为柱面的母线，定曲线 称为柱面的准线。,特殊情况：柱面的母线平行于某
5、坐标轴，而准线在与母线垂直的坐标平面上的柱面。设柱面的母线平行于 轴，准线 是 平面上的一曲线.，求柱面方程。,只含 而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面；类似地，只含 而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面；只含 而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面。,1.平行于坐标轴的柱面,2.曲线,十二旋转曲面 给定空间一直线 与空间曲线，曲线 绕直线 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面，定直线 称为旋转曲面的旋转轴。特殊情况：坐标平面上的平面曲线绕该坐标平面上的某坐标轴旋转一周所形成的旋转曲面.设在 平面上的曲线，绕 轴旋转一周，求旋转曲面 的方程。,(1)曲线，绕 轴
6、旋转一周所成的旋转曲面 的方程，只要在方程 中，作如下改动，可得旋转曲面 的方程,(2)曲线，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面 的方程,(3)曲线，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面 的方程,(4)曲线，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面 的方程,(5)曲线，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面 的方程,(6)曲线，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面 的方程,第八章 多元函数微
7、分学,多元函数概念(多个自变量),多元初等函数;多元函数极限的概念及求法;连续性,多元初等函数的连续性;偏导数及几何意义,高阶偏导数,方向导数;全微分及与各导数,连续的相互关系;复合函数求导，注意区分 和；隐函数和方程组求导，注意用公式和不用公式的区别；曲面的切平面与法线，曲线的切线与法平面；极值，最值，条件极值；梯度及性质,一.二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,二、多元函数的极限,点P0的 邻域内点,外点,边界点,聚点(极限点),孤立点边界,开集,连通集,有界集,开(闭)区域,二.求极限方法与一元类似:,不同处:洛必达法则,单调有界法则不再有用;相同处:四则运算,夹逼,有界与无
8、穷小,连续等.可代换化成一元;不能用y=kx代入来求极限.,注:二元函数要比一元复杂得多.关键在于一元中 方式简单;而二元中 的方式 是任意的；这可用来证明二重极限不存在.,连续函数的运算性质,多元连续函数的和、差、积均为连续函数当分母不为零时，商也是连续函数,多元连续函数的复合函数也是连续函数,三、多元函数的连续性,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上必有最大值和最小值,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,偏导数
9、,一、偏导数的定义及其计算法,注 f x（x0，y0）即是对一元函数 f（x，y0）在 x0 处求导数；f y（x0，y0）即是对一元函数 f（x0，y）在 y0 处求导数；,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,具体求偏导数时，仅对涉及的变量求导，其余变量当作常数因此，同一元,1、偏导数存在与连续的关系,2、偏导数不再是微商.,3、偏导数的几何意义,如图,设 M0（x0，y0，z0）是曲面 zf（x，y）上的一点.,几何意义:,混合偏导数,二、高阶偏导数,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,注 对于高阶混合偏导数，若连续，则混合偏导数与求导顺序无关.此时，z 的 n 阶
10、偏导可记为,三.全微分的定义,四、可微的条件,习惯上，记全微分为,因此，微分的，同一元,多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,多元复合函数的求导法则,求导法则(链式法则)如图示,1.可推广至任意中间变量和自变量情形;2.求导时,要兼顾到每一个中间变量.,隐函数存在定理及求导法则,用隐函数求导公式时须注意:,1.用隐函数求导公式求导,在分子中出现对函数变量求导数时,函数作为常数.2.不用隐函数求导公式求导,只是用思想方法求导,当出现对函数变量求导数时,函数作为中间变量,微分法在几何上的应用,曲线在 M0 处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线
11、的切向量.,法平面：过 M0 点且与切线垂直的平面.,一、空间曲线的切线与法平面,空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,法线方程为,切平面方程为,二、曲面的切平面与法线,称为曲面在M处的法向量.,称此极限为 f 在 P（x，y）处沿方向 的方向导数.,或 存在，,记为 或.,一、方向导数的定义,二方向导数的求法：,三.三元函数情形,四.多元函数连续、可导、可微的关系,注 判断一个函数是否可微的策略:先看是否连续；再看偏导是否存在；最后用定义.,方向导存在,偏导存在,五、梯度的概念,注,六、梯度的性质,类似于二元函数，此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最
12、大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,多元函数的极值及其求法,一、极值,1、定义,2、多元函数取得极值的条件,定义 使一阶偏导数同时为零的点,称为函数的驻点.,驻点,极值点,注意：,求最值的一般方法：将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,二、多元函数的最值,三、条件极值、拉格朗日乘数法,条件极值：对自变量有附加条件的极值,再解方程组:,第九,十章 多元函数积分学,重积分，线,面积分的定义：和式的极限；性质同定积分，即：线性，区域可加性，的积分，单调性，估值，中值定理；积分计算的基本思想是要积分变量一个不多,一个
13、不少地跑遍积分域.二重积分计算：1)先x后y，2)先y后x，3)极坐标；三重积分计算：1)先后，2)先后，3)柱面坐标，)球面坐标；,第一类曲线积分计算：代入，下限小,上限大；第二类曲线积分计算：代入，下限起点,上限终点;第一类曲面积分计算：一投二代；第二类曲面积分计算：一投二代三定号;两类线,曲面积分的关系:格林公式,高斯公式,斯托克斯公式(计算线,面积分时首选).,切向量,法向量,一、二重积分的概念,可积的必要条件,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时,二重积分是曲顶柱体的体积,当被积函数小于零时,二重积
14、分是曲顶柱体的体积的负值,总之，二重积分是曲顶柱体体积的代数和,性质,当 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,二、二重积分的性质,性质,性质,对区域具有可加性,性质 4,若在D上,特殊地,则有,性质 5,性质 6,（二重积分中值定理）,（二重积分估值定理）,如果积分区域为：,其中函数,在区间 上连续.,三、利用直角坐标系计算二重积分,X型,如果积分区域为：,Y型,二重积分化为累次积分的公式（）,区域D特征如图,多用于D是圆及圆的一部分,f含x2+y2.,四、利用极坐标系计算二重积分,积分技巧点滴,1.积分域：直角坐标是矩形，极坐标是圆心在原点的扇形，则各积分限是常数；若被积函数
15、还是相应一元函数的乘积，则二重积分是定积分的乘积；2.绝对值函数要分不同区域去绝对值号 3.积分次序当被积函数是一元或二元函数时,则这些变量的积分靠后.例如被积函数是x的一元函数,则关于x的积分放在最后,一般来说,此类做法可减少定积分的运算.,4.区域的对称性,和被积函数的奇偶性.区域关于y轴对称即边界线方程用-x代x后,不变,同时被积函数关于x是奇函数即f(-x,y)=-f(x,y),则积分为零;被积函数关于x是偶函数即 f(-x,y)=f(x,y),则积分等于在一半区域上积分的两倍.区域关于其它坐标轴,被积函数关于相应变量的对称有同样的性质三重积分,第一类的线,面积分也具有此对称性.,5.
16、变量的循环对称.变量x和变量y互换,若区域不变,也是一个使用技巧的机会;有时,也要考虑交换积分变量的次序.使用明显的重(形)心坐标.,一、三重积分的定义与性质,的体积 V,直角坐标系中将三重积分化为三次累次积分,二、直角坐标系下三重积分的计算,如图，,方法一：穿线法或称先一后二,注意,可见，重点确定:,投影域D和上下边界面z1,z2。,方法二：切片法(截面法)或称先二后一,Z,（3）,三、利用柱面坐标计算三重积分,规定：,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平面,柱面坐标系中的体积元素为,柱坐标系(先一后二),特殊,f写成一个一元函数和一个二元函数的乘积,D是
17、圆的一部分.,柱坐标系(先二后一),特殊,f写成一个一元函数和一个二元函数的乘积,Dz是圆的一部分或Dz与z无关.,四、利用球面坐标计算三重积分,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,规定：,则,球面坐标系计算公式,特殊,是旋转面(如绕z轴,则是与z轴的夹角)包围的部分,则在某固定平面(尤其yoz面)上定r和的限.,若是绕x轴的旋转面,则是与x轴的夹角,则在xoy面上定r和的限.,球面坐标与直角坐标的关系为,一.微元法,把定积分的微元法推广到积分的应用中.,若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分
18、量可近似地表示为则所求量为,积分的应用,二.物理应用：,1.质量元,空间立体:,平面薄片:,直线:,曲面:,曲线:,第一型曲线积分,一、对弧长的曲线积分的概念,1.定义,被积函数,积分曲线,积分和,2.存在条件：,3.推广,4.性质(同定积分,重积分),二、对弧长曲线积分的计算,定理,注意:,简言之:代入,空间:,第二型曲线积分,一、对坐标的曲线积分的概念,1.定义,类似地定义,2.存在条件：,3.向量形式,4.推广,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,其它:线性,连续是积分存在的充分条件等.,二、对坐标的曲线积分的计算,定理,特殊情形,简言之:1)代入,十三、两类曲线积分之间的关
19、系：,第一型曲面积分,一、对面积的曲面积分的定义,1.定义,2.对面积的曲面积分的性质,其它性质同定积分,重积分如线性,二、计算法,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,(一投二代),是 在XOY面上的投影,则,则,第二型曲面积分,二.概念及性质,被积函数,积分曲面,类似可定义,设有向曲面S在xoy面上的投影（S)xy，规定：,3.存在条件:,2.物理意义:流向曲面的流量,4.性质:,三、计算法(投影法),上+下-,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,(一投二代三定号),前+后-,右+左-,四、两类曲面积分之间的关系,两类曲面积分之间的联系,一、格林(Green)公式,定理1,Gr
20、een公式及其应用,边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域 D 总在他的左边.,二、区域连通性的分类,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,三.与路径无关的四个等价命题,条件,等价命题,(3),(4),证,一、高 斯 公 式,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,一、斯托克斯(stokes)公式,-斯托克斯公式,是有向曲面 的正向边界曲线,右手法则,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,另有四种形式,
21、例如:,便于记忆形式,Green公式,Gauss公式,Stokes公式与N-L公式 一样,是建立函数在积分域内部的积分与边 界上的积分之间的关系.4个公式的作用(1)理论上;(2)双向的计算.但,Green公式,Gauss公式,Stokes公式多用于将 边界线(面)向积分域内部转化;与此同时,被 积函数是向求导的方向转化.这时要注意,变 量的取值范围发生了改变.在遇到奇点或边界不封闭时,要加辅助线,多 数为由平行于坐标轴的直线组成的折线;或 加辅助面,多数为平行于坐标面的平面.,梯度,通量,环流量,散度,旋度,基本概念:级数(无穷和式),收敛与发散(部分和 式的极限),和s,通项,余项,首项,
22、等比级数,P级数,绝对收敛,条件收敛.基本性质:线性,往后性,加括号性,通项趋于零是 收敛的必要条件;正项级数收敛的充要条件是部 分和有界;绝对收敛必收敛.正项级数判敛的充分条件(三板斧):1)比值,根值 法;2)比较法及极限形式;3)通项不趋于零是发散.一般项级数判别绝对收敛,条件收敛的充分条,第十一章 级数,件(三板斧):1)比值,根值法判别出绝敛和散;2)比 较法及极限形式判别出绝对敛,加莱布尼茨判别 法判出条件敛;3)通项不趋于零是发散.幂级数:阿贝尔引理,收敛半径,收敛区间,收敛域,收敛域内可作加减法,取极限(连续),求导.积分;求和函数;间接展开法.傅立叶级数:傅立叶系数,收敛性定
23、理.,三、基本性质,收敛级数与发散级数的和一定发散.,两发散级数的和其敛散性则不一定.,线性:,(往后性),(无穷和式的结合律),(加括号性),注意,收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.,收敛的必要条件:,如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,通项与部分和的关系:1)un Sn Sn1(n1),1.比较审敛法,推论 若，则有相应的性质.,比较审敛法的极限形式:,判别正项级数敛散性的步骤(三板斧):,原级数(或适当放大)，用比值审敛法(后项与前 项比的极限是否小于1)或根值审敛法;原级数(或适当放大)，以P-级数为参考级数,用 比较审敛法;通项,级数发散;原级数(或适当放大)，以其它级数为参
24、考级数,用比较审敛法,或积分判别法;看部分和Sn是否有上界;用Cauchy收敛原理;用定义,求和s.,二、一般项级数审敛法,判别一般项级数敛散性的步骤(三板斧):,对通项取绝对值(或适当放大)后,用比值审敛法或根值审敛法;对通项取绝对值(或适当放大)后,以P-级数为参考级数,用比较审敛法;若发散,对原级数用Leibniz判别法;通项,级数发散;对通项取绝对值(或适当放大)后,以其它级数为参考级数,用比较审敛法,或积分判别法;若发散,对原级数用Leibniz判别法;用Cauchy收敛原理;用定义,求和s.,幂级数,收敛半径R的特征：,注:该定理反之不成立.即:幂级数的收敛半径为 R,未必,和函数
25、的分析运算性质:,(收敛半径不变),(收敛半径不变),二、函数展开成幂级数,1.直接法(Taylor级数法),步骤:,2.间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.,常用已知和函数的幂级数(常见展开式),常见变换:,傅里叶系数,傅里叶级数,2.狄利克雷(Dirichlet)收敛定理,函数展开成正弦级数或余弦级数,其中，g（x）有多种定义方式.一般有两种方式：,奇延拓:,偶延拓:,以2L为周期的傅氏级数,定理,第七章 常微分方程,基本概念:常(偏)微分方程,微分方程的阶,解微 分方程,微分方程的解,通解,特解,积分曲线,线性 微分方
26、程,线性齐次,非齐次,定解条件,初始条件.一阶微分方程(1)分离型方程(含齐次方程),解法 要点:两变量分别放在等式两端;(2)一阶线性方程(含贝努利方程),解法要点:常数变易法和代公 式,x也可为函数;(3)全微分方程,解法要点:与路 径无关的线积分和观察法.高阶微分方程:可降阶方程,解法要点:降至低阶;常系数线性方程,解法要点:待定函数法.线性方程的解结构.,一、可分离变量的一阶微分方程,微分方程的通解:,(二)齐次方程,作变量代换,(一)一阶线性微分方程的标准形式:,此方程称为齐次的.,此方程称为非齐次的.,二、一阶线性微分方程,微分方程的通解公式:,x也可视为函数.,伯努利(Berno
27、ulli)方程的标准形式,（二）伯努利（Bernoulli）方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,作变量代换,线性微分方程的解结构(二阶),非齐次通解齐次通解非齐次的一个特解,可降阶微分方程,一、型,三、型,二、型,解法:积分n次.,常系数线性微分方程,特征方程,2阶齐次:,n 阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,二阶常系数非齐次线性方程,一、型,可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程（k 是重根次数）.,k 是重根次数,推广到 n 阶,解法：通过变量代换可化为常系数微分方程.,形如,三、Euler方程,
