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1、1,第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性,一、单调性的判别法,二、单调区间求法,三、曲线凹凸的定义,四、曲线凹凸的判定,五、曲线的拐点及其求法,六、凹凸性小结,2,一、单调性的判别法,定理1,3,证（1）,应用拉氏定理,得,(2)同理可证。,4,例题部分 单调性应用,注,定理中区间换成其它有限或无限区间，结论仍成立.,应用1判断函数的单调性、求函数的单调区间,课本例1 判定函数 y=x sinx 在0,2上的单调性.,解,因为 在(0,2)内.,故由定理1立得,函数 y=x sinx 在0,2上的单调增加.,5,课本例2,解,注意函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定
2、，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,6,说明,1.单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如课本例3,2.如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如课本例5,3.熟记单调区间的可能分界点,(1)驻点;,(2)不可导点,x=0不可导点,7,二、单调区间求法,方法,小结：单调区间的求法步骤,求定义域,求驻点、不可导点(可能的分界点),确定单调区间,列表考察 f(x)在各个区间内的符号,8,课本例4确定函数,的单调区间.,解,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,9,判断函数的单调性或求单调区间的练习题习题 3-4 P151 1、2、3(1)(2)(
3、3)(5)(7),判断函数的单调性或求单调区间的作业题习题 3-4 P151 1、3(1)(3)(5),10,课本例6 证明当x 1时,证,应用2利用函数的单调性证明不等式,11,利用单调性证明不等式的练习题习题 3-4 P151 4(1)、(2)、(5),利用单调性证明不等式的作业题习题 3-4 P151 4(1),12,三、曲线凹凸的定义,问题单调性不能反映曲线的弯曲方 向；如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,13,定义 设函数,在区间 I 上连续,(1)若恒有,则称,图形是凹的;,(2)若恒有,则称,图形是凸的.,14,四、曲线凹凸与
4、拐点的判定,【观察】,15,定理2(凹凸判定法),(1)在 I 内,则 在 I 内图形是凹的;,(2)在 I 内,则 在 I 内图形是凸的.,设函数,在区间I 上二阶可导,注定理中区间I 可以为闭区间也可为非闭区间.,该定理的记忆方法,快乐是“+”，悲伤是“-”,16,课本例8,解,注意到,这样的点称为曲线的拐点，,定义连续曲线上凹凸的分界点(x0，f(x0)称为拐点.,内点,17,五、曲线的拐点及其求法,1.可能(可疑)拐点的求法,分析(1),所以要寻求拐点,只要找出使f(x)正负号发生变化的分界点即可.如果f(x)连续,则f(x)的值在由负变正或由正变负的过程中,必在分界点处的值为零.即,
5、(2)此外,f(x)不存在的点也可能是拐点（如下图）,可能的拐点,总结,18,2.判定拐点的步骤,由此可得求拐点的步骤如下:,若在其两侧二阶导数变号,则点(x0,f(x0)是拐点；,若在其两侧二阶导数不变号,则点(x0,f(x0)不是拐点；,可能的拐点,19,课本例11判断曲线,的凹凸性及其拐点.,解,故曲线,在,上是凹的.,结论,由 例8和例11可知：二阶导数为零的点可能是拐点,也可能不是拐点。,20,课本例12 求曲线,的拐点.,解,不存在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,凹,凸,结论,2)此例说明了 不存在的点 也可能 是曲线的拐点.,21,课本例10求曲线,的凹凸区间及拐点.,解,1)求,2)求可能的拐点坐标,令,得,对应,3)列表判别,故该曲线在,及,上是凹的,是凸的,点(0,1)及,均为拐点.,22,函数的凹凸性拐点练习题习题 3-4 P151 8(1)(4)、11、12、13,函数的凹凸性拐点作业题习题 3-4 P151 8(1)(2)、11、12,23,六、曲线的凹凸性小结,3.拐点的求法：1.找出可能拐点；2.判别.,一阶导符号定单调；二阶导符号判凹凸,可能拐点 1.f(x)=0的点 2.f(x)不 存在的点.,1.曲线凹凸的判别,2.拐点,连续曲线上的凹凸分界（内点）点,
