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1、偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E),浙江大学数学系,2,参考书目,工程技术中的偏微分方程，潘祖梁，浙江大学出版社。,数学物理方程，王明新，清华大学出版社。,浙江大学数学系,3,一.偏微分方程的基本概念,自变量,未知函数,偏微分方程的一般形式,浙江大学数学系,4,PDE的阶,PDE的解,古典解,广义解,一些概念,是指这样一个函数，它本身以及它的偏导数在所考虑的区域上连续，同时用满足方程。,线性PDE,非线性PDE,半线性PDE,拟线性PDE,完全非线性PDE,浙江大学数学系,5,线性PDE：,PDE中对最高阶导数是线性的。,线性PDE中所有具同一
2、最高阶数的偏导数组成的部分，称为线性方程的主部。,半线性PDE：,拟线性PDE：,拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。,PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。,浙江大学数学系,6,举例（未知函数为二元函数）,1.,2.,变换,解为：,解为：,浙江大学数学系,7,举例（未知函数为二元函数）,4.,3.,解为：,变换,解为：,浙江大学数学系,8,5.,不易找出其通解，但还是可以找出一些特解,任意解析函数 的实部和虚部均满足方程。,也是解,6.,特解都不易找到,KDV方程,举例（未知函数为二元函数）,浙江大学数学系,9,7.,拟线性PDE,8.,拟线性PDE,9.,半线性
3、PDE,10.,半线性PDE,11.,非线性PDE,浙江大学数学系,10,举例(多元函数),拉普拉斯(Laplace)方程,热传导方程,波动方程,浙江大学数学系,11,二.定解问题的适定性,定解问题,PDE,定解条件,初值条件,边值条件,初、边值条件,初值问题、边值问题、混合问题,浙江大学数学系,12,经典的定解问题举例,波动方程的初值问题（一维）,浙江大学数学系,13,经典的定解问题举例,热传导方程的初值问题（一维）,浙江大学数学系,14,经典的定解问题举例,二维调和方程的边值问题,第一边值问题（Dirichlet）,第二边值问题（Neumann）,第三边值问题（Robin）,浙江大学数学系
4、,15,经典的定解问题举例,热传导方程的初、边值问题,浙江大学数学系,16,何为适定性？,存在性唯一性连续依赖性（稳定性）,适定性,若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。,浙江大学数学系,17,三.物理模型与定解问题的导出,波动方程的导出,热传导方程的导出,浙江大学数学系,18,弦振动方程与定解问题,一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时间变化规律。,弦上各点作往返运动的主要原
5、因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。,浙江大学数学系,19,取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOU,O,U,X,P,Q,L,在时刻 t，弦线在 x 点的位移为 u(x,t),O,U,X,P,Q,此为上图中PQ的放大图示,浙江大学数学系,20,假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为,即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据Hooke定律，弦上各点的张力 T 的大小与时间 t 无关。再由于弦是柔软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦的切线方向。,浙江大学数学系,21,根据牛顿第
6、二运动定律，,(*1),(*2),O,U,X,P,Q,浙江大学数学系,22,(*1),这表明张力的大小与 x 也无关，即,常数,(*2),，微分中值定理,浙江大学数学系,23,令,，可得微分方程方程,弦是均匀的，故 为常数，记,方程改写为,刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为弦振动方程。,浙江大学数学系,24,为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出初始条件,或者边界条件,已知端点的位移,已知在端点受到垂直于弦的外力的作用,已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合,浙江大学数学系,25,四.二阶线性方程
7、的分类,两个自变量情形,主部,目的：,通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。,非奇异,（1）,浙江大学数学系,26,复合求导,浙江大学数学系,27,系数之间的关系,（2）,（1）,（3）,浙江大学数学系,28,考虑,如若能找到两个相互独立的解,那么就作变换,从而有,（4）,浙江大学数学系,29,两个引理,引理1.,假设,是方程,的特解，则关系式,是常微分方程,（4）,（5）,的一般积分。,引理2.,假设,是常微分方程（5）的一般,积分，则函数,是（4）的特解。,浙江大学数学系,30,由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的一般积分。,定义：,常微分方程（5）为P
8、DE（1）的特征方程,（5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。,（6）,浙江大学数学系,31,记,定义,方程(1)在点M处是,双曲型：,椭圆型：,抛物型：,若在点M处，有,若在点M处，有,若在点M处，有,浙江大学数学系,32,双曲型PDE,右端为两相异的实函数,它们的一般积分为,由此令,，方程（1）可改写为,双曲型方程的第一标准型,双曲型方程的第二标准型,浙江大学数学系,33,抛物型PDE,由此得到一般积分为,由此令,，其中,与,独立的任意函数。,浙江大学数学系,34,由于,由此推出,浙江大学数学系,35,因此，方程（1）可改写为,抛物型方程的标准型,而,浙江大学数学系,36,椭圆型PDE,右端为两相异的复数,由此推出两族复数积分曲线为,其中,浙江大学数学系,37,由此令,从而方程（1）可改写为,，满足方程（4）,椭圆型方程的标准型,浙江大学数学系,38,总结,（双曲型PDE）,（抛物型PDE）,（椭圆型PDE）,或,浙江大学数学系,39,例1,抛物型方程,令,浙江大学数学系,40,例2,双曲型方程,浙江大学数学系,41,例3,Tricomi方程,椭圆型,双曲型,浙江大学数学系,42,浙江大学数学系,43,课后作业：,P21-22 Ex 12（2）（4）Ex 13（1）（3）Ex 14（1）Ex 16,浙江大学数学系,44,例,
