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1、第二专题 刚体运动学初步,解题知识与方法研究,一、刚体作平面运动时，刚体上任意两点的速度、加速度在两点连线方向垂直投影,二、两始终相互接触的刚体作平面运动时，两刚体上的两接触点的速度、加速度在接触点处的法线方向的垂直投影,三、速度瞬心位置的运动,如图，设某时刻刚体绕A的角速度为，,一、刚体作平面运动时，某刚体平面上任意两点的速度、加速度在连线方向上垂直投影的关系,两端点乘以，,得,即,证明：,如图,则,解题知识与方法研究,1、速度投影的关系,2、加速度投影的关系,如下图：,刚体上A、B两点的加速度在AB方向的垂直投影不相等.,如图两条位于同一竖直平面的水平轨道，相距h，两个物体通过绕过小定滑轮
2、O的不可伸长的轻绳相连，A在下轨道以匀速率v运动，在绳子与轨道成30角的瞬时，绳BO段的中点处有一挂在绳上的小水滴P（与绳相对静止）脱离绳子.设绳长远大于滑轮的直径.求：（1）水滴P脱离绳子时速度的大小和方向；（2）水滴落至下轨道时所需的时间.,300,B,P,v,O,A,解,第（1）问解决了，就知道了水滴做抛体运动的初速度，第（2）问就容易解决了！,水滴脱离绳子的速度就是此时绳上P点速度.,由于拉紧的绳上各点的速度沿绳长向的分量都相等，,所以,又有,（1）,你能不能大致估计P点的速度方向?！,例1,300,A,B,P,v,vB,P,O,A,vP,vP,vP,vB,vB/,所以,（2）,水滴作
3、斜下抛运动.,取正解,于是,而,进而得到P点速度大小为,原解,因为,长为L的杆AO用铰链固定在O点，以角速度 围绕O点匀速转动，在O点的正上方有一个定滑轮B，一轻绳绕过B滑轮一端固定在杆的A端，另一端悬挂一个的重物M（图1）,O、B之间的距离为h.求当AB绳与竖直方向成 角时：（1）重物M的运动速度；（2）重物M的加速度.,所以,于是,（1）,例2,将此加速度分解成沿BA方向和垂直于BA方向两个分量.,沿BA方向的分量是,这就是M上升的加速度.,根本错误在于认为 仅仅反映的是A点离开滑轮（即绳伸长）的速率的变化快慢！,（2）,新解,考虑以B为原点，BO为极轴的极坐标系.,A点的总加速度即为.,
4、其径向分量为,而,所以,对ABO，由余弦定理得,式中：,代入化简整理后即得,二、两始终相互接触的刚体作平面运动时，两刚体上的两接触点的速度、加速度在接触点处的法线方向的垂直投影,1、速度的投影,简单证明：,2、加速度的投影,如图1：,两刚体上的A、B两接触点的加速度在法向的垂直投影不相等.,如图2：,两刚体上的A、B两接触点的加速度在法向的垂直投影相等.,如图所示，AB杆的A端以匀速v沿水平地面向右运动，在运动时杆恒与一固定的半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为 时，求：（1）杆的角速度及杆上的与半圆周接触的点C的速度；（2）杆与圆周的切点C的速度大小.,解,杆上的C点的速度在圆
5、半径R方向的投影为零，,C点速度沿杆长方向.,如图，正交分解A点速度：,则C点速度大小为,以C为基点，则A点绕C点以速度v2转动.,角速度为,（1）,（2）,例3,由如图的几何关系可知，当杆转动时，圆周上C点转过的角度等于等于杆转过的角度.,所以C转动的角速度为,进而,（2）,注意到图中,于是,或者：,1、平面运动刚体的瞬心可能在刚体内也可能在刚体外（或者说在刚体扩展部位上）,三、速度瞬心（简称瞬心、又称瞬时转动中心）的运动性质,瞬心在刚体上.,瞬心在刚体外.,平面运动刚体上的瞬时速度为零的点.,2、速度瞬心位置（瞬心在定系中瞬时所占据的“座位”）一般会变动,刚体作定轴转动的平面运动时，瞬心即
6、固定轴,瞬心位置不动.,上图滚动的轮子，瞬心不断变更位置，轨迹为平行斜面的直线.,3、瞬心速度为零但加速度不一定为零,上图滑动杆的各时刻瞬心的位置变更的迹线为四分之一圆周(自己证明).,滑动的杆,纯滚动的轮子,上图中纯滚动的轮子瞬心加速度,上图中滑杆的瞬心加速度,x,y,证明,（1）,（2）,即得,对任何在静止参考系K中于平面上作变速纯滚动的圆柱体（设其半径为R,某时刻其圆心速度为vo、加速度为ao）.证明：（1）圆周上的点绕圆心转动的切向加速度为ao；（2）瞬心相对圆心转动的总加速度等于（3）瞬心在静止参照系K中的加速度大小为,方向指向圆心.,所以,式中，,（此即为圆周上任一点绕圆心转动的切线加速度）,例5,（3）,瞬心在静止参照系K中的加速度,所以,半径为r的圆环A沿着半径为R的固定圆环B的外侧作纯滚动，A的环心o绕着B的环心作圆周运动的角速度记为,角加速度记为.试求：（1）A环绕着环心o转动的角速度;（2）A环瞬心M对地的加速度aM.,解,（1）,由此便得,（2）,A环环心o对地及瞬心M相对o的加速度情况如图(b).,图(a),环心o的角速度、速度情况如图(a).,于是,例6,向下.,向上.,向右.,向左.,向上.,极坐标系中的加速度：,极坐标系中的速度：,
