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1、第三节 格林公式及其应用,格林（Green）公式四个等价结论,1/23,一、格林公式,边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时，区域D总在左边。,2/23,*证明,3/23,4/23,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明,证:令,则,利用格林公式,得,例2.,解,6/23,例3.,解,5/23,解,20/23,(注意格林公式的条件),21/23,格林公式,例如,椭圆,所围面积,二、四个等价结论,如果平面区域D内任一闭曲线所围成的部分都在D内，则称D为单连通区域；否则称为复连通区域。,复连通区域,单连通区域,1、平面区域连通性的分类,7/23,推论,2、用格林公式导出的四个等价结论,8/2
2、3,*证,9/23,10/23,11/23,12/23,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,说明:,若在某区域D内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,4)若已知 d u=P dx+Q dy,则对D内任一分段光滑曲,注:此式称为曲线积分的基本公式(P211定理4).,它类似于微积分基本公式:,例5.验证,在右半平面(x 0)内存在原函,数,并求出它.,证:令,则,所以存在原函数,或,判别:,P,Q 在某
3、单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关的条件.,1.求原函数 u(x,y),2.由 d u=0 知通解为 u(x,y)=C.,*三、全微分方程,则称,为全微分方程.,例6.求解,解:因为,故这是全微分方程.,则有,因此方程的通解为,法1,法2 此全微分方程的通解为,则有,两边对 y 求导得,由得,与比较得,因此方程的通解为,例7.求解,解:,这是一个全微分方程.,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,思考:如何解方程,这不是一个全微分方程,就化成例7 的方程.,使,为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,但若在方程两边同乘,注:若存在连续可微函数,积分因子.,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有,为全微分方程,作 业,习题11-1,若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,思考题,23/23,备用题 1.设 C 为沿,从点,依逆时针,的半圆,计算,解:添加辅助线如图,利用格林公式.,原式=,到点,
