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1、1.3.2 函数的极值与导数,f(x)0,f(x)0,1.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在 这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内f/（x）0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.,一、知识回顾:,如果在某个区间内恒有,则 为常数.,2.求函数单调性的一般步骤,求函数的定义域;,求函数的导数 f/（x）;,解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调递增区间;解不等式 f/（x）0 得f(x)的单调递减区间.,问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间 变化的函数 的图象,单调递增,单调递减,归纳:函数 在
2、点 处,在 的附近,当 时,函数h(t)单调递增，;当 时,函数h(t)单调递减,。,探究,（3）在点 附近,的导数的符号有什么规律?,（1）函数 在点 的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系?,（2）函数 在点 的导数值是多少?,(图一),问题：,探究,(图一),极大值f(b),点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.,点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.,极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.,极小值f(a),二、函数的极值定义,设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x
3、)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；,函数的极大值与极小值统称 为极值.,使函数取得极值的点x0称为极值点,思考：极大值一定大于极小值吗？,（1）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。,（2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。,（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值
4、。,课后练习1.如图是函数 的图象,试找出函数 的 极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？,随堂练习,答：,x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,是 为可导函数 的极值点的必要不充分条件。,x,y,O,y=x3,（1）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。,（2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小
5、值可以不止一个。,（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。,（4）是 为可导函数 的极值点的必要不充分条件。,一般地，当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：（1）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么，f(x0)是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么，f(x0)是极小值。,2、极值的判别方法,下面分两种情况讨论:（1）当，即x2,或x-2时;,（2）当，即-2 x2时。,例4：求函数 的极值.,解:,当x变化时，的变化情况如下表：,当x=-2时,f(x)的极大值为,令,解得x=2,或x=-2.,当x=2时,f(x)的极小值为,巩固练习：,1、求函数 的极值,课堂总结:,一、方法:(1)确定函数的定义域(2)求导数f(x)(3)求方程f(x)=0的全部解(4)检查f(x)在f(x)=0的根左,右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值(或极小值)二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题作业：,今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值,思考：已知函数 在 处取得极值 求函数 的解析式,解：在 取得极值，即 解得,
