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1、132 函数的极值与导数您能从这里有所收获，是我们最大的快乐！ 1.3.2 函数的极值与导数 一、教学目标 1 知识与技能 1结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2 过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3 情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系 提出问题
2、，激发求知欲 组织学生自主探索，获得函数的极值定义 通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解 四、教学过程 一、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ 第- 1 -页共6页 您能从这里有所收获，是我们最大的快乐！ 2观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题 当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在t=a处的导数是多少呢？ 在点t=a附近的图象有什么特点？ 点t=a附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附
3、近,当ta时,函数h(t)单调递增, h(t)0;当ta时,函数h(t)单调递减, h(t)0,即当t在a的附近从小到大经过a时, h(t)先正后负,且h(t)连续变化,于是h/(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ 、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： oaht第- 2 -页共6页 您能从这里有所收获，是我们最大的快乐！ 函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? 在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? 2、极值的
4、定义: 我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。 极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗？ 充要条件：f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反 4、引导学生观察图1.3.11，回答以下问题： 找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？ 极大值一定大于极小值吗？ 5、随堂练习: 1 如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是
5、极小值点.如果把函数图象改为导函数第- 3 -页共6页 您能从这里有所收获，是我们最大的快乐！ y=f(x)的图象? 、讲解例题 例4 求函数f(x)=x3-4x+4的极值 教师分析:求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点； 由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值. 学生动手做,教师引导 13x解:f(x)=x3-4x+4f(x)=x2-4=(x-2)(x+2) 令f(x)=0,解得x=2,或x=-2. 下面分两种情况讨论: (1)当f(x)0,即x2,或x-2时; (2) 当f(x)0,即-2x2时. 当x变化时,
6、 f(x),f(x)的变化情况如下表: x (-,-2) f(x)13-2 (-2,2) 2 ) (2,+ 0 _ 0 + f(单调递283单调递减 4- 3单调第- 4 -页共6页 您能从这里有所收获，是我们最大的快乐！ x) 增 递增 28;当x=2时,f(x)有极 3因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= 小值,且极小值为f(2)= - 函数f(x)=x3-4x+4的图象如: 归纳：求函数y=f(x)极值的方法是: 13431f(x)=x3-4x+4321求f(x),解方程f(x)=0,当f(x)=0时: -2(1) 如果在x0附近的左边f(x)0,右边f(x)0,
7、那么f(x0)是极大值. (2) 如果在x0附近的左边f(x)0,右边f(x)0,那么f(x0)是极小值 、课堂练习 1、求函数f(x)=3x-x3的极值 2、思考：已知函数f=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1处取得极值, 求函数f的解析式及单调区间。 、课后思考题： 1、 若函数f(x)=x3-3bx+3b在内有极小值，求实数b的范围。 2、 已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围。 、课堂小结: 1、 函数极值的定义 2、 函数极值求解步骤 3、 一个点为函数的极值点的充要条件。 、作业 P32 5 教学反思: 第- 5 -页共6页 您能从这里有
8、所收获，是我们最大的快乐！ 本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练. 研讨评议: 教学内容整体设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获. 第- 6 -页共6页
