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1、Welcome!,Welcome!,Welcome!,第4章,梁的弯曲,4-1,弯曲的概念,梁的弯曲是材料力学部分最重要的内容,弯曲变形是工程构件最常见的基本变形,工程实际中的弯曲问题,弯曲的概念,当直杆受垂直其轴线的横向外力或者在杆轴平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变成曲线，称为弯曲。产生弯曲变形的杆称为梁,梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形,平面弯曲的概念,我们只研究矩形截面梁的平面弯曲,矩形截面梁有一个纵向对称面,当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。,因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲,梁的载荷与支座情况,a、梁的载荷,#集中力
2、,#均布载荷,#集中力矩,正负号规定：,集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；,集中力矩逆时针为正、顺时针为负。,b、梁的支座反力,梁的支承方法及反力,c、梁的类型,根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型,简支梁,一端固定铰支座一端活动铰支座,悬臂梁,一端固定一端自由,外伸梁,一端固定铰支座活动铰支座位于梁中某个位置,d、求支座反力的平衡方程,求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系,求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件,举例说明,P,左边固定铰支座，有两个约束反力,A,B,右边活动铰支座，1个约束反力,l,再以悬臂梁为例,假设该悬臂梁承受均布载荷,q,l,固定端有3个约束反力,R
3、x,Ry,A,B,MA,建立平衡方程求约束反力,4-2,梁的弯曲内力,梁的内力、弯矩图,#截面法求内力#弯矩概念#弯矩的正负号规定#弯矩图,a、剪力和弯矩,与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：剪力和弯矩,考察弯曲梁的某个横截面仍使用截面法。在截面形心建立直角坐标系。剪力与截面平行，用Q表示弯矩作用面在纵向对称面内，方向沿Z 轴方向，用M 表示,Q,M,在细长梁中，剪力对强度和刚度影响较小，可略去不计，只考虑弯矩的影响,用截面法求弯曲时的内力,b、剪力和弯矩正负号的规定,剪力正负号,对所截截面上任一点的力矩顺时针为正，逆时针为负,弯矩正负号,Q,Q,M,M,M,M,正,负,正,负,使梁下
4、凹为正，向上凸为负,c、截面法求剪力和弯矩,P1,P2,RAy,A,B,RAx,RB,P1,RAy,a,a,M,Q,对截面中心建立力矩平衡方程,m,m,RAx,说明：,1、一般情况下，x 方向的约束反力为零。,2、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的平衡方程。,3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要建立在截面的中心。,举例：,l,q,求图示简支梁 x 截面的弯矩,q,RAy,M,A,B,在x 处截开，取左半部分分析,画出外力、约束反力、弯矩,x 截面剪力、力矩平衡方程,qx,Q,可见剪力在该简支梁内的分布为一条斜直线，弯矩为一条曲线抛物线,弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有,由对称性，可以求
5、得,l,q,A,B,d、剪力图和弯矩图,将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截面的分布规律用图形表示,例如上面的受均布载荷的简支梁,l,q,A,B,（1）列剪力方程和弯矩方程,（2）画剪力图和弯矩图,例2,例3 图4-14a 所示为一简支梁，在C点受集中力P 的作用，作此梁的剪力图和弯矩图。,(1)求支座反力,(2)列剪力方程和弯矩方程,AC段:,(0 x a),CB段：,(3)画剪力图和弯矩图,集中力使剪力图突变,集中力使弯矩图折曲,AC段:,(0 x a),CB段：,（1）求支座反力,（2）列剪力方程和弯矩方程,例5,（3）画剪力图和弯矩图,集中力偶使弯矩图突变,集中力偶不使剪力图变化,（1）求支
6、座反力,（2）列写弯矩方程,例6,（3）画弯矩图,集中力偶使弯矩图突变,集中力使弯矩图折曲,叠加法：,注意事项,1、不是简单形状叠加，是纵坐标值的叠加 2、要考虑正负不同符号纵坐标的重叠和相同符号纵坐标的累加 3、按纵坐标方向划出有效区标志线，正负抵消的部分不可划标志线 4、标明有效区的正负符号 5、标注极值大小,总结：弯矩图的形状和载荷之间的关系,1.在两个集中载荷之间的梁段内，弯矩图一般为斜直线，并且在集中力作用处弯矩线转折。2.在集中力偶作用处，其左右两侧横截面上的弯矩值发生突变，突变值等于集中力偶矩的值3.在均布载荷作用的梁段内，弯矩图为抛物线。如均布载荷方向向下，则抛物线开口向下，反
7、之则向上,4-2,弯曲时的正 应力与强度计算,1.纯弯曲时的正应力,#纯弯曲与剪切弯曲#中性层和中性轴#弯曲正应力分布规律#弯曲正应力的计算、抗弯截面模量,各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。各横截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲。,a、变形几何关系 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设。,#中性层和中性轴,中性层,梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。,对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。,中性轴,中性层与横截面的交线。,梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。,如果外力偶矩如图作用在梁上，
8、该梁下部将伸长、上部将缩短,变形的几何关系为：,上式说明离中性轴越远(y越大)，则变形越大。b、应力和变形的关系（物理关系）,由虎克定律,C、弯曲正应力分布规律,M,与中性轴距离相等的点，正应力相等；,正应力大小与其到中性轴距离成正比；,弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；,弯矩为负时，正应力上拉下压；,M,中性轴上，正应力等于零,d、静力学关系分析如图，取一微元进行分析,Z:中性轴,抗弯刚度,横截面上某点正应力,该点到中性轴距离,该截面弯矩,该截面惯性矩,显然正应力的最大值对应于该点到中性轴的距离(y)的最大值,例7 图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6k
9、N/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。,（1）作弯矩图，求最大弯矩,梁的弯矩图如图5-8b 所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为,因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为,在截面的下端受最大压应力，其值为,（2）求最大应力,f、惯性矩的计算,可直接记忆也可以查表,矩形截面,圆形与圆环截面,实心圆,空心圆,g、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量,某截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边界上：,WZ 称为抗弯截面模量，Z 为中性轴.,矩形截面,Z,b,h,实心圆截面,Z,d,2.弯曲强度计算,#梁的最大正
10、应力#梁的强度条件#举例,a、梁的最大正应力,梁的危险截面,梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上,危险截面位于梁中部,危险截面位于梁根部,梁的最大正应力,梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处,b、梁的强度条件,Mmax,梁内最大弯矩,WZ,危险截面抗弯截面模量,材料的许用应力,利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷,例8图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴BC段截面的直径。已知q=1KN/mm，许用应力=140MPa。,q,300,300,1400,A,B,C,D,q,RAy,M,300,700,300,q,300,300,1400,A,B,C,D,危险截面
11、在轴的中部,利用截面法求该截面弯矩,q,RAy,M,300,700,300,由对称性可求得：,例10 图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为bh的矩形，h=2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？,b,h,h,b,q,注意：Z 轴为中性轴,b,h,h,b,q,根据弯曲强度条件,同样载荷条件下，工作应力越小越好,因此，WZ 越大越好,梁立置时：,梁倒置时：,立置比倒置强度大一倍。,例11 一矩形截面木梁如图5-14a 所示，已知P=10kN，a=1.2m，木材的许用应力=10MPa。设梁横截面的高宽比为h/b=2，试选梁的截面尺寸。,解：（1）作弯矩图，求最大弯矩 用叠加法作出梁的弯矩图如图5
12、-14b所示，由图知最大弯矩为,（2）选择截面尺寸,截面的抗弯截面模量,最后选用12.525cm2的截面。,4-4,弯曲刚度计算,本部分主要内容,梁的挠曲线近似微分方程 积分法求梁的变形 叠加法求梁的变形 梁的刚度校核,1 挠度和转角,梁任一横截面的转角 等于该截面处挠度y对x的一阶导数。,梁的挠曲线近似微分方程,（2）角位移 梁任一横截面绕其中性轴转 动的角度称为该截面的转角。梁的挠曲线微分方程为 y=f(x),梁弯曲后的轴线称为挠曲线。（1）线位移 y 梁轴线上的一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移称为该点的挠度,2 挠曲线的近似微分方程,注意：y轴要向上，保证方程两边符号相同,将上式代入
13、式(a),得梁的挠曲线近似微分方程,3.用积分法求梁的变形,简支梁：,悬臂梁：,积分常数C和D的值可通过梁支承处已知的变形条件来确定，这个条件称为边界条件。,以A为原点，取直角坐标系，x轴向右，y轴向上。,（1）求支座反力 列弯矩方程,由平衡方程得：,列弯矩方程为：,（2）列挠曲线近似微分方程,例12,（3）积分,（4）代入边界条件，确定积分常数,在x=0处：,将边界条件代入(c)、(d)得：,将常数 C 和 D 代入(c)、(d)得：,（6）求最大转角和最大挠度,（5）确定转角方程和挠度方程,说明：转角为负，说明横截面绕中性轴顺时针转动；挠度为负，说明B点位移向下。,例13 一简支梁如图6-
14、9所示,在全梁上受集度为 q 的均布载荷作用.试求此梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角|max 和最大挠度|y|max,由对称关系得梁的两个支座反力为,以A点为原点，取坐标如图，列出梁的弯矩方程为：,（2）列挠曲线近似微分方程 并进行积分,(1)求支座反力，列弯矩方程,简支梁的边界条件是：在两支座处的挠度等于零 在x=0 处，yA=0；在x=l 处，yB=0,（3）确定积分常数,边界条件代入（d），解得,将积分常数C，D代入式（c）和（d）得,（4）确定转角方程和挠度方程,由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将x=l/2代入（f），得：,（5）求最大转角和最大挠度,又由图6-9可见，在两支
15、座处横截面的转角相等，均为最大。由式（e）,4.叠加法求梁的变形,当梁上同时作用几个载荷时，梁的总变形为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。,叠加原理、叠加法,前提是小变形、线弹性,由叠加法得：,直接查表2-3,例14,5.梁的刚度校核,弯曲构件的刚度条件:,例15,将主轴简化为如图例6-13b所示的外伸梁，主轴横截面的惯性矩为,材料的弹性模量：,（1）计算变形,由表2-3查出，因P1在C处引起的挠度和在B引起的转角（图c）为：,由表2-3查得，因P2在C处引起的挠度和在B处引起的转角（d）为：,主轴的许用挠度和许用转角为：,故主轴满足刚度条件,（2）校核刚度,4-5,组合变形时的强度条件,一
16、、概述,叠加原理应用的基本步骤：(1)将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形;（2）分析每种载荷的内力，确定危险截面；（3）分别计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力；（4）将各基本变形情况下的应力叠加，确定最危险点；（5）选择强度理论，对危险点进行强度校核。,在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就是组合变形,二、弯曲与拉伸的组合,载荷与杆件轴线平行，但不通过横截面的形心，杆件的变形也是弯曲与拉伸（或压缩）的组合，称为偏心拉伸（压缩）。载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。,3,在Px作用下：,在Py作
17、用下：,危险截面处的弯矩,例16 悬臂吊车,横梁由25a号工字钢制成，l=4m，电葫芦重Q1=4kN，起重量Q2=20kN,=30,=100MPa，试校核强度。,抗弯截面模量,4,强度条件为：,根据叠加原理，可得横截面上的总应力为：,解：（1）外力计算 取横梁AB为研究对象，受力如图b所示。,梁 上载荷为P=Q1+Q2=24kN，斜杆的拉力S可分解为XB和YB。,横梁在横向力P和YA、YB作用下产生弯曲；同时在XA和XB作用下产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。,当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。此时，由平衡条件,（2）内力和应力计算 绘出横梁的弯矩图如图c所示。在梁
18、中点截面上的弯矩最大，其值为,从型钢表上查25a号工字钢，得：,所以最大弯曲应力为,5,其分布如图e所示，梁危险截面的上边缘处受最大压应力，下边缘处受最大拉应力作用。横梁所受的轴向压力为,则危险截面上的压应力为,并均匀分布于横截面上，如图d所示。故梁中点横截面上，下边缘处总正应力分别为；,（3）强度校核,由计算可知，此悬臂吊车的横梁是安全的。,6,例17 钻床 P=15kN，e=40cm，T=35MPa,C=120MPa.试计算铸铁立柱所需的直径。,解：（1）计算内力 将立柱假想地截开，取上段为研究对象，由平衡条件，求出立柱的轴力和弯矩分别为：,（2）选择立柱直径,求解d的三次方程,7,满足强
19、度条件，最后选用立柱直径d=12.5cm。,解得立柱的近似直径,取d=12.5cm,再代入偏心拉伸的强度条件校核，得,设计中常采用的简便方法：因为偏心距较大，弯曲应力是主要的，故先考虑按弯曲强度条件 设计截面尺寸,8,9,解：由于钢板在截面1-1处有一半圆槽，因而外力P对此截面为偏心拉伸，其偏心矩之值为,截面1-1的轴力和弯矩分别为：,轴力S和弯矩在半圆槽底部的a点处都引起拉应力（图b)，a点即为危险点。最大应力为,例18 一带槽钢板受力如图，已知钢板宽度 b=8cm,厚度=1cm,槽半径 r=1cm,P=80kN,钢板许用应力=140MPa。试对此钢板进行强度校核。,计算结果表明，钢板在截面
20、1-1处的强度不够。由分析知，造成钢板强度不够的原因，是由于偏心拉伸而引起的弯矩Pe，使截面1-1的应力显著增加。为了保证钢板具有足够的强度，在允许的条件下，可在槽的对称位置再开一槽如图c。这样就避免了偏心拉伸。,此时钢板在截面1-1处满足强度条件。,10,此时截面1-1上的应力(如图d)为,三、弯曲与扭转的组合,1.弯扭组合是工程中常见的变形组合形式,11,2.弯扭组合常用计算公式的建立,12,将力P向A端面形心平移，得到一横向力P和矩为TA=PR的力偶，杆AB受力情况如图b。,圆杆的弯矩图和扭矩图如图c、d。,圆轴复合弯曲的弯矩,x,注意：1 公式仅对圆轴复合弯曲适用 2 公式可用于任何受
21、力形式的圆轴的复合弯曲部分 3 平面弯曲可看成它的特例,13,例19 手摇绞车 d=3cm,D=36cm，l=80cm，=80MPa.按第三强度理论计算最大起重量Q.,解：（1）外力分析 将载荷Q向轮心平移，得到作用于轮心的横向力Q和一个附加的力偶，其矩为TC=QD/2。轴的计算简图如图b所示。,（3）求最大安全载荷,14,（2）作内力图 绞车轴的弯矩图和扭矩图如图c、d所示。,由图可见危险截面在轴的中点C处，此截面的弯矩和扭矩分别为：,即最大安全载荷为790N。,15,（3）求最大安全载荷,例20 齿轮轴、n=265r/min、NK=10kW、D1=396mm，D2=168mm，=20o，d
22、=50mm，=50MPa。校核轴的强度。,解：（1）计算外力 取一空间坐标系Oxyz,将啮合力P1、P2分解为切向力P1z、P2y和径向力 P1y、P2z，它们分别平行于y轴和z轴。再将两个切向力分别向齿轮中心平移，亦即将P1z、P2y平行移至轴上，同时加一附加力偶，其矩分别为：,16,简化结果，轴的计算简图如图b所示。由图可见，TC和TD使轴产生扭转，P1y、P2y和P1z、P2z则分别使轴在平面Oxy和Oxz内发生弯曲。,又由图a所示切向力和径向力的三角关系:,（2）作内力图、并确定危险截面 平面在Oxz内，由平衡条件可求得轴承A、B处的支座反力为：,同样，可求得在平面Oxy内轴承A、B处的支座反力为：,在平面Oxy内的弯矩Mz图，如图d中的铅垂图形。画出轴的扭矩图如图c所示。,17,画出平面Oxz内的弯矩My图，如图d中的水平图形。,求得截面C和D的合成弯矩分别为：,由比较知，在截面D上的合成弯矩最大。又从扭矩图知，此处同时存在的扭矩为：,（3）强度校核,故轴满足强度条件。,18,若采用第三强度理论，则,若采用第四强度理论，则,求出合成弯矩M的数值。,小 结,
