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1、第一节 映射与函数,一、集合二、映射三、函数,一、集合1、集合概念 所谓集合(或集)是具有某种特定性质的事物的全体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.,由有限个元素组成的集合，可用列举出它的全体的方法来表示.,凡事物a是集合A的元素记作：；,凡事物a不是集合A的元素记作：；,由无穷多个元素组成的集合，通常用如下记号表示：设M是具有某种性质P的元素x全体组成的，就可表示成：,以后如果没有特别声明，提到的数都是实数.,全体自然数的集合记作 N，即,全体实数的集合记作 R，为排除零的实数集 为全体正实数的集.,全体正整数的集合为,全体整数的集合记作 Z，即,全体有理数的集合记作 Q,数集:元素都是
2、数的集合.,子集:设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作(读作A包含于B)或(读作 B 包含 A).,相等:如果集合A与集合B互为子集，即 且,就称集合A与B相等，记作A=B.,例如，设A=1,2，B=2,1，C=x|x2-3x+2=0则A=B=C.,真子集：若 且，则称A是B的真子集，记作,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集(简称交)，记作A B，即 A B=x|x A 且 x B;,2、集合的运算,集合的基本运算有以下几种：并、交、差.,设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B 的集合，称为A与B的并集(简称并)，记作A B，即
3、 A B=x|x A或 x B；,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集(简称差)，记作AB，即 AB=x|x A且 x B.,有时，我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行，所研究的其他集合 A 都是 I 的子集.此时，我们称集合I为全集或基本集，IA为A的余集或补集，记作.例如，在实数集 R 中，集合A=x|01.,集合的并、交、余运算满足下列法则。(1)交换律，；,(2)结合律()(），()(B C)；,(4)对偶律(A B)c=Ac Bc，(A B)c=Ac Bc.,(3)分配律(A B)C=(A C)(B C)，(A B)C=(A C)(B C)；,3、区间和邻
4、域,区间是用得较多的一类数集，设 a 和 b 都是实数，且 a b.,数集 x|ax b称为开区间，记作(a,b)，即(a,b)=x|ax b.a 和 b 称为开区间(a,b)的端点，这里 a(a,b),b(a,b).,数集 x|a x b.称为闭区间，记作 a,b，即,a,b=x|a x b.,a 和 b 也称为闭区间a,b的端点，这里a a,b，b a,b.,类似地可说明：a,b)=x|a x b,(a,b=x|ax b.a,b)和(a,b 都称为半开区间.,以上这些区间都称为有限区间.数 b a 称这些区间的长度.,类似地可以表示无限区间，例 a,+)=x|x a,(,b)=x|x b,
5、邻域：在数轴上，一个以点x0为中心,长度为 的开区间 称为点x0的 邻域x0称为邻域的中心，称为邻域的半径邻域是指开区间：,而元素x 称为元素 y(在映射 f 下)的一个原像；集合 X 称为映射 f 的定义域，记作,即，X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作,二、映射1、映射概念 定义：设 X、Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f,使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y 与对应，则称 f 为从 X 到 Y 映射，记作 f:X Y,其中y称为元素 x(在映射 f 下)的像,并 记作 f(x),即 y=f(x),或 f(X),即=f(X)=f(x)|x X
6、.,注意：1、构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X，即定义域;集合Y，即值域的范围：；对应法则 f，使对每个，有唯一确定的 y=f(x)与之对应,2、对每个，元素 x 的像 y 是唯一的；而对每个，元素 y 的原像不一定是唯一的；映射 f 的 值域 是 Y 的一个子集，即，不一定,例1 设 f:R R,对每个x R,f(x)=显然，f 是一个映射，f 的定义域=R，值域=y|y 0它是 R 的一个真子集 对于 中的元素 y，除 y=0 外，它的原像不是唯一的，如 y=4 的原 像 就 有x=2 和 x=2 两个,例2 设 X=(x,y)|+=1，Y=(x,0)|x|1，f:X Y，对每个(
7、x,y)X，有唯一确定的(x,0)Y 与之对应显然 f 是一个映射，f 的定义域=X，值域=Y 在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到 x 轴的区间 1,1 上,例3 设f:,1,1，对每个x,，f(x)=sin x 这 f 是一个映射，其定义域=,，值域=1,1,设f是从集合X到集合Y的映射，若=Y，即Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像，则称 f为 X 到 Y 上的映射或满射；若对 X 中任意两个不同元，它们的像，则称 f 为 X 到 Y 的单射；若 f 映射既是单射，又是满射，则称 f 为一一映射(或双射).,映射又称为算子，根据集合X、Y的不同情形，在
8、不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称.例如，从非空集X到数集Y的映射又称为X上的泛函，从非空集X到它自身的映射又称为X上的变换，从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数.,设 f 是X 到Y 的单射，则由定义，对每个,有唯一的，适合 f(x)=y.于是，我们可定义一个从 到X 的新映射g，即 对每个，规定 g(y)=x，这 x 满足 f(x)=y.这个映射 g 称为的 f 的逆映射，记作,其定义域,值域.,2、逆映射与复合映射,设有两个映射 其中.则由映射 g 和 f 可以定出一个从X 到 Z 的对应法则，它将每个 x X 映成 f g(x)Z.显然，这个对应法则确定
9、了一个从X 到 Z 的映射，这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射，记作，即,构成复合映射的条件是：g的值域必须包含在f 的定义域内，即.否则，不能构成复合映射.,例4 设有映射 g:R 1,1，对每个x R，g(x)=sin x,映射 f:1,1 0,1，对每个u 1,1，则映射g 和f构成的复合映射:R 0,1，对每个x R有,三、函数,1、函数的概念,定义：设数集，则称映射 为定义在D上的函数，通常简记为,其中 x称为自变量，y 称为因变量，D称为定义域，记作，即.,函数定义中，对每个x D，按对应法则 f，总有唯一确定的值 y 与之对应，这个值称为函数f 在x处的函数值，记作f(
10、x)，即 y=f(x).因变量 y 与自变量 x 之间的这种依赖关系，通常称为函数关系.函数值f(x)的全体所构成的集合称为为函数f的值域，记作 或f(D)，即=f(D)=y|y=f(x),x D.,函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素是：定义域 及对应法则 f.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.,在函数的定义中，对每个x D，对应的函数值 y 总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个x D，总有确定的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，我们称这种法则确定了一个多值函数.,有时
11、一个函数要用几个式子表示.这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数.,例5 圆面积A与它的半径r之间的相依关系,r在 内任取一个数值时,由上式可确定圆面积A的相应数值.r的取值范围为定义域；A的取值范围为值域.,例6 y=arcsin(2+x2),对于任何实数x,都没有按给定的规则与之对应的y值.函数定义域不能是空集,所以此例不是函数关系.,例7 xy,按这个规则，每一个x值有无穷多个y与之对应.函数定义中对应规则要求对每一个x值只有一个确定的y值与之对应，所以此例也不是函数关系.,例8 y=x与,是不是相同的函数关系?,两个函数定义域不同,因此是不同的函
12、数关系.,y=x是定义在 的函数关系；,则在x=0处没有确定的y值与之对应，其定义域是；,例9 研究y=x与 是不是相同的函数关系.,y=x与 都是定义在 上的函数关系,但是对应规则不同：,对于y=x,当x0 时,y0，x0；,因此是两个不同的函数.,2、函数的几种特性,(1)函数有界性：设函数f(x)的定义域为D，数集X D.如果存在数，使得 f(x)对任一 都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而 称为函数f(x)在X上的一个上界.如果存在数 使得,对任一 都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而 称为函数f(x)在X上的一个下界.如果存在数 M，使得,对任一 都成立，则称函数f(x)在X
13、上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。,则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.,(2)函数的单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间I D.如果对于区间I上任意两点 及,当 时，恒有 则称函数f(x)在区间I上单调增加的；如果对于区间I上任意两点 及，当 时，恒有,单调增加,单调增加函数的图形是沿x轴正向逐渐上升的,单调减少,单调减少函数的图形是沿x轴正向逐渐下降的,(3)函数的奇偶性：设函数f(x)的定义域D关于原点对称如果对于任一x D,f(-x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数如果对于任一x D。f(-x)=-f(x)恒成
14、立，则称f(x)为奇函数,偶函数的图形关于y轴是对称的.因为若f(x)是偶函数，则f(x)=f(x)，所以如果A(x,f(x)是图形上的点，则与它关于y轴对称的点 也在图形上.,偶函数,奇函数的图形关于原点是对称的.因为若f(x)是奇函数，则f(x)=f(x)，所以如果A(x,f(x)是图形上的点，则与它关于原点对称的点 也在图形上.,(4)函数的周期性：设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数 l，使得对于任一 x D 有，且 f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期就是指最小正周期.,设函数 是单射，则它存在逆映射，称此映射
15、 为函数f 的反函数.按此定义，对每个，有唯一的,使得 f(x)=y，于是有,3、反函数与复合函数,(1)反函数的概念,这就是说，反函数 的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.,函数 y=f(x)，x为自变量，y为因变量，定义域为D(f)，值域为z(f)；,函数，y为自变量，x为因变量，定义域为 z(f)，值域为D(f)；,习惯上用x表示自变量，用y表示因变量.因此我们将，改写为以x为自变量、以y为因变量的函数关系，这时我们说 是 y=f(x)的反函数.,将上式中的x换成y，将y换成x，因此得出y=3x-1的反函数是.,(2)复合函数的概念,设函数 y=f(u)的定义域为，函数u=g(x
16、)在D 上有定义，且，则由下式确定的函数 y=f g(x)，称为函数 u=g(x)和函数 y=f(u)构成的复合函数，它的定义域为D，变量u 称为中间变量.,4、函数的运算,设函数f(x),g(x)的定义域依次为、,D=，可以定义这两个函数的下列运算：,例17 设函数f(x)的定义域为(l，l)，证明必存在(l，l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得 f(x)=g(x)+h(x).,证：先分析如下：假若这样的g(x)、h(x)存在，使得 f(x)=g(x)+h(x)(1)且 g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x),于是有 f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)(2)
17、利用(1)、(2)式，就可作出g(x)、h(x).这就启发我们作如下证明：,5、初等函数,它的定义域随 而定，但不论 为何值，在 内总有定义，而且图形经过(1,1)点.,幂函数：,称为幂函数,函数,指数函数:,函数,指数函数.,定义域是区间，值域为，当a1 时，函数单调增加，当0a1 时，函数单调减少.,对于任何实数x，总有ax0，又a0=1,所以指数函数的图形总在x轴的上方，且通过点(0,1).,y=ax与y=a-x的图形关于y轴对称.,定义域为，图形总在x轴的正方向，且通过点(0,1).,函数y=logax(a0，)称为对数函数，它是指数函数的反函数.,对数函数：,科技应用中常用以常数e为
18、底的对数函数：y=loge x称为自然对数函数，简记作 y=lnx,若a1，对数函数logax是单调增加的，在开区间(0,1)函数值为负，而在区间 内函数值为正.,若0a1，对数函数logax是单调减少的，在开区间(0,1)函数值为正，而在区间 内函数值为负.,指数函数y=ax的图形与对数函数y=logax的图形是关于直线y=x对称.,三角函数：,函数 y=sin x称为正弦函数；函数 y=cos x称为余弦函数；,它们的周期为,定义域,值域1,1.sin x为奇函数,cos x为偶函数.,函数 y=tan x称为正切函数；函数 y=cot x 称为余切函数；周期,值域.,tan x的定义域为
19、,cot x的定义域为,正切函数和余切函数都是以 为周期的周期函，它们都是奇函数.,反三角函数：,函数 arcsin x 称为反正弦函数，是sin x 的反函数；,函数 arccos x 称为反余弦函数，是cos x 的反函数；,函数 arccot x 称为反余切函数，是cot x 的反函数；,函数 arctan x 称为反正切函数，是tan x 的反函数；,四个反三角函数的首字母为大写，它们都是多值函数.,按下列区间取其一段,称为主值分支(单值函数),分别记作：,以上这五种函数统称为基本初等函数。,由常数和基本初等函数经过有限的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称
20、为初等函数.,应用上常遇到以e为底的指数函数y=和y=所产生的双曲函数以及它们的反函数反双曲函数.它们的定义如下：,双曲正弦的定义域为；它是奇函数，它的图形通过原点且关于原点对称.在区间 内它是单调增加的.当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于曲线；在第三象限内接近于曲线.,双曲正弦 sh x=,双曲余弦 ch x=,双曲余弦的定义域为；它是偶函数，它的图形通过点(0,1)且关于y轴对称.在区间 内它是单调减少的；在区间 内它是单调增加的.ch 0=1是这函数的最小值.当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于曲线，在第二象限内接近于曲线.,双曲正切 th x=,双曲正切的定义域为
21、，它是奇函数，它的图形通过原点对称.在区间 内它是单调增加的.它的图形夹在y=1和y=1之间；当x绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y=1，而在第三象限内接近于直线y=1.,双曲函数 y=sh x,y=ch x(x 0),y=th x 的反函数依次记为 反双曲正弦 y=arsh x,反双曲余弦 y=arch x,反双曲正切 y=arth x.这些反双曲函数都可通过自然对数函数来表示.,根据双曲线的定义，可证下列四个公式：sh(x+y)=sh xch y+ch xsh y;sh(x y)=sh xch y ch xsh y;ch(x+y)=ch xch y+sh xsh y;ch(x y)=ch xch y sh xsh y;,
