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1、1,第三章 压力容器应力分析,第四节 平板应力分析,CHAPTER STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS,2,过程设备设计,3.4.1 概述,3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,主要内容,3.4.3 圆平板中的应力,3.4.4 承受对称载荷时环板中的应力,3.4 平板应力分析,3,过程设备设计,3.4.1 概述,1、应用：平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。,4,过程设备设计,2、平板的几何特征及平板分类,t/b1/5时(薄板)w/t1/5时(小挠度)按小
2、挠度薄板计算,图2-28 薄板,5,过程设备设计,3、载荷与内力,载荷,平面载荷,横向载荷,复合载荷,（作用于板中面内的载荷）,（垂直于板中面的载荷）,内力,薄 膜 力,弯曲内力,中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形,弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形,6,当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲 载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 分析复杂的多,本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论,7,过程设备设计,4、弹性薄板的小挠度理论基本假设-克希霍夫Kirchhoff,研究:弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题,8,过程设备设计,3.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
3、,分析模型,9,过程设备设计,分析模型,轴对称性,几何对称，载荷对称，约束对称，在r、z圆柱坐标系中挠度 只是 r 的函数，而与无关。,求解思路,10,过程设备设计,微元体：,用半径为r和r+dr的圆柱面和夹角为d的两个径向截面截取板上一微元体,11,过程设备设计,微元体内力,径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr,周向：M、M,横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr,微元体外力,上表面,12,过程设备设计,1、平衡方程,微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即MT=0,（2-54）,圆平板在轴对称载荷下的平衡方程,13,过程设备设计,2、几何协调方程,取 径向截面上与 中面相距为
4、z，半径为 r 与 两点A与B构成的微段,(W),14,过程设备设计,板变形后：,微段的径向应变为,（第2假设）,过A点的周向应变为,（第1假设）,作为小挠度,，带入以上两式，,应变与挠度关系的几何方程,（2-55）,15,过程设备设计,3、物理方程,根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为,16,过程设备设计,4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程,(2-55)代入(2-56)式：,（2-57）,17,过程设备设计,4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程（续）,通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩 和 表示成 的形式。由式（2-57）可见，
5、和 沿着厚度(即z方向)均为线性分布，图2-31中所示为径向应力的分布图。,图2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系,18,过程设备设计,、的线性分布力系便组成弯矩、。单位长度上的径向弯矩为：,（2-58a）,（2-58b）,“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关,同理,参照38页壳体的抗弯刚度,19,过程设备设计,(2-58)代入(2-57)，得弯矩和应力的关系式为：,（2-59）,(2-58)代入平衡方程(2-54)，得：,即：受轴对称 横向载荷 圆形薄板小挠度弯曲微分方程：,（2-60）,Qr值可依不同载荷情况用静力法求得,20,过程设备设计,3.4.3 圆平板中的应力,（圆平板轴
6、对称弯曲的小挠度微分方程的应用）,一、承受均布载荷时圆平板中的应力,二、承受集中载荷时圆平板中的应力,简支,固支,21,过程设备设计,一、承受均布载荷时圆平板中的应力,图2-32 均布载荷作用时圆板内Qr的确定,据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：,代入2-60式中,均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为,对r连续两次积分,得到挠曲面在半径方向的斜率,（2-61）,对r连续三次积分,（得到中面在弯曲后的挠度）,（2-62）,22,过程设备设计,C1、C2、C3均为积分常数。对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 0，于是上述方程改写为
7、：,（2-63）,式中C1、C3由边界条件确定。,23,过程设备设计,下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件）,24,过程设备设计,1、周边固支圆平板,周边固支圆平板,在支承处不允许有挠度和转角,将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：,25,过程设备设计,将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：,（2-65）,由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式：,（2-66）,26,过程设备设计,图2-34 圆板的弯曲应力分布（板下表面）,周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。最大应力在板边缘上下
8、表面，即,27,过程设备设计,2、周边简支圆平板,将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3：,得周边简支平板的挠度方程,代入式（2-63）,（2-67）,周边简支圆平板,28,过程设备设计,弯矩表达式：,（2-68）,应力表达式：,（2-69）,29,过程设备设计,可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处，,周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34(b)。,图2-34 圆板的弯曲应力分布（板下表面）,30,3、比较两种支承,过程设备设计,a.边界条件,周边固支时:,周边简支时:,31,过程设备设计,b.挠度,周边固支时，最大挠度在板中心,周边简支时，最大挠度在板中心,（
9、2-70）,（2-71）,表明:周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。,32,过程设备设计,c.应力,周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为,（2-72）,周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为,（2-73）,表明:周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。,33,过程设备设计,最大正应力与 同一量级；最大切应力则与 同一量级。因而对于薄板Rt，板内的正应力远比切应力大。,内力引起的切应力：在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力，（处）近似采用矩形截面梁中最大切应力公式,得到,34,过程设备设计,从以上可以看出：,35,过程设备设计,4、结论,板内为
10、二向应力状态:且为弯曲应力，平行于中 面各层相互之间的正应力 及剪 力 引起的切应力 均可予以忽略。,b.应力分布:沿厚度呈线性分布,且最大值在板的上下表面。沿半径呈抛物线分布,且与周边支承方式有关,c.强度:,简支,固支,工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式。,36,d.刚度:,周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板,e.薄板结构的最大弯曲应力 与 成正比，而薄壳的最大 拉(压)应力 与 成正比。,故在相同 条件下，薄板所需厚度比薄壳大。,37,过程设备设计,二、承受集中载荷时圆平板中的应力,图2-35 圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Qr,挠度微分方程式（2-60）
11、中，剪力,可由图2-35中的平衡条件确定：,采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值,38,过程设备设计,图2-36 外周边简支内周边承受 均布载荷的圆环板,通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变，只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。,当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。圆环在沿其中心线（通过形心）均布力矩M作用下，矩形截面只产生微小的转角 而无其它变形，从而在圆环上产生周向应力。这类问题虽然为轴对称问题，但不能应用上述圆平板的基本方程求解。,3.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力,39,过程设备设计,设圆环的内半径为、外半径为、形心处的半径为、厚度t，沿其中心线（通过形心）均布力矩M的作用，如图2-37所示。文献40给出了导出圆环绕其形心的转角 和最大应力（在圆环内侧两表面）,40,作业：7、10、11,
