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1、9.1 引言,一输入输出法（端口法）,研究单输入单输出系统；着眼于系统的外部特性；基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的概念。,产生于20世纪50至60年代；卡尔曼()引入；利用状态变量描述系统的内部特性；运用于多输入多输出系统；用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统。,二状态变量分析法,三状态变量分析法优点,(1)提供了系统的内部特性以供研究；,(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算；,(3)便于分析多输入多输出系统；,(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；,(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。,四名词定义,状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为
2、状态变量），只要知道 时这组变量和 时的输入，那么就能完全确定系统在任何时间 的行为。,状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态变量。例如上例中的。,状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变量，可以看作矢量 的各个分量的坐标。称为状态矢量。,状态空间：状态矢量 所在的空间。,状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化而描出的路径称为状态轨迹。,9.2 信号流图,概述系统的信号流图表示法术语定义信号流图的性质信号流图的代数运算,系统框图 信号流图,一概述,利用方框图可以描述系统（连续的或离散的），比用微分方程或差分方程更为直观。,线性系统的仿真（模拟）,连续系统相加、倍乘、积分,离散
3、系统相加、倍乘、延时,由美国麻省理工学院的梅森（Mason）于20世纪50年代首先提出。应用于：反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统模拟及数字滤波器设计等方面。,信号流图方法的主要优点,系统模型的表示简明清楚；,简化系统函数的计算方程。,二系统的信号流图表示法,实际上是用一些点和支路来描述系统：,方框图,流图,称为结点,线段表示信号传输的路径，称为支路。,信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近，相当于乘法器。,三术语定义,结点：表示系统中变量或信号的点。,转移函数：两个结点之间的增益称为转移函数。,支路：连接两个结点之间的定向线段，支路的增益即为转移函数。,输入结点或源点：只有输出支
4、路的结点，它对应的是自变量（即输入信号）。,输出信号或阱点：只有输入支路的结点，它对应的是因变量（即输出信号）。,混合结点：既有输入支路又有输出支路的结点。,通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许有相反方向支路存在）。,开通路：通路与任一结点相交不多于一次。,环路增益：环路中各支路转移函数的乘积。,闭通路：如果通路的终点就是起点，并且与任何其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。,不接触环路：两环路之间没有任何公共结点。,前向通路：从输入结点（源点）到输出结点（阱点）方向的通路上，通过任何结点不多于一次的全部路径。,前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积。,四信号流图的性质,
5、支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，信号只能沿着支路上的箭头方向通过。,（1）,（2）,结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。,（3）,具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单传输的支路，可以把它变成输出结点来处理。,（4）,流图转置以后，其转移函数保持不变。所谓转置就是把流图中各支路的信号传输方向调转，同时把输入输出结点对换。,给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画出不同的流图。,（5）,五信号流图的代数运算,（1）,（2）,有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。,串联支路的合并,总增益等于各
6、支路增益的乘积。,（3）,并联支路的合并：并联相加,（4）,混合结点的消除,（5）,环路的消除,总结：可以通过如下步骤简化信号流图，从而求得系 统函数。串联支路合并，减少结点；并联支路合并，减少支路；消除环路。,（6）,信号流图的梅森增益公式,式中：,称为流图的特征行列式。,表示由源点到阱点之间第k条前向通路的标号。,表示由源点到阱点之间的第 条前向通路的增益。,称为对于第 条前向通路特征行列式的余因子。它是除去与k条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。,9.3 连续时间系统状态方程的建立,状态方程的一般形式和建立方法概述由电路图直接建立状态方程由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程将
7、系统函数分解建立状态方程,一状态方程的一般形式和建立方法概述,一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号的各阶导数来描述。作为连续系统的状态方程表现为状态变量的联立一阶微分方程组，即,为系统的k个状态变量。,m个输入信号,r个输出信号,状态方程,输出方程,如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合，即：,表示为矢量矩阵形式,状态方程,输入方程,状态方程和输出方程分析的示意结构图,是积分环节，它的输入为，输出为。,若 矩阵是 的函数，表明系统是线性时变的，对于线性时不变系统，的各元素都为常数，不随 改变。,状态变量的特性,每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激励信
8、号的函数；,每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数；,输出信号是状态变量和输入信号的函数；,通常选择动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中是选积分器的输出。,建立给定系统的状态方程的方法分为直接法和间接法两类：,直接法主要应用于电路分析、电网络（如滤波器）的计算机辅助设计；,间接法常见于控制系统研究。,二由电路图直接建立状态方程,(1)选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量，有时也选电容电荷与电感磁链。,，对连接有电容的结点列结点电流方程，其,(3)把方程中非状态变量用状态变量表示。,(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。,状态变量的个数 等于系统的阶数。,对于较简单的电路，
9、用直观的方法容易列写状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要借助计算机辅助设计（CAD）技术。,三由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程,假定某一物理系统可用如下微分方程表示,此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为k 次系统函数为,为便于选择状态变量，系统函数表示成,当用积分器来实现该系统时，其流图如下,取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的,状态方程,输出方程,表示成矢量矩阵的形式,状态方程,输出方程,简化成,对应A,B,C,D的矩阵分别为,（二）用流图的串联结构形式列状态方程,四将系统函数分解 建立状态方程,将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并联或串联形式的流图结构，即可列出不
10、同形式的状态方程。,（一）用流图的并联结构形式列状态方程,9.4 连续时间系统状态方 程的求解,用拉普拉斯变换法求解状态方程用时域法求解状态方程,时域方法借助计算机,变换域方法简单,由状态方程求系统函数,一用拉普拉斯变换法求解状态方程,方程两边取拉氏变换,整理得,因而时域表示式为,可见，在计算过程中最关键的一步是求。,若系统为零状态的，则,则系统的转移函数矩阵为,是第i个输出分量对第j个输入分量的转移函数。,1矩阵指数 的定义,二用时域法求解状态方程,(一)矩阵指数,式中 为 方阵,也是一个 方阵,2.主要性质,(二)用时域方法求解状态方程,1.求状态方程和输出方程,若已知,并给定起始状态矢量
11、,对式(1)两边左乘，移项有,(1),化简，得,两边取积分，并考虑起始条件，有,对上式两边左乘，并考虑到，可得,为方程的一般解,求输出方程r(t),依此原理，将 无穷项之和的表示式中高于 次的各项全部化为 幂次的各项之和，经整理后即可将 化为有限项之和,对于 方阵A有如下特性：,凯莱-哈密顿定理（Cayley-Hamiton theorem）：,也即，对于，可利用 以下幂次的各项之和表示，式中 为各项系数。,(2),(3),式中各系数 c 都是时间t 的函数，为书写简便省略了变量t。,按照凯莱-哈密顿定理，将矩阵A的特征值代入式(2)后，方程仍满足平衡，利用这一关系可求得式(3)中的系数c，最
12、后解出。,具体计算步骤：,求矩阵A的特征值；,将各特征值分别代入式（3），求系数c。,第一种情况,A的特征值各不相同，分别为，代入式(3)有,(4),第二种情况,若A的特征根 具有m阶重根，则重根部分方程为,其他非重根部分与式(4)相同处理，两者联立解得要求的系数。,(5),9.5 离散时间系统状态方程的建立,状态方程的一般形式和建立方法概述由系统的输入输出差分方程建立状态方程给定系统的方框图或流图建立状态方程由研究对象的运动规律直接建立状态方程,一状态方程的一般形式和建立方法概述,离散系统的状态方程：一阶差分方程组,为系统的r 个输出信号。,为系统的m 个输入信号；,为系统的状态变量；,输出
13、方程：,状态方程：,如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线形组合，即,状态方程：,输出方程：,可见：n+1时刻的状态变量是n时刻状态变量和输入信号的函数。在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变量常常选延时单元的输出。,表示成矢量方程形式,各矩阵说明,若系统是线性时不变的，则A,B,C,D 各元素都为常数，不随n 改变。,若A,B,C,D 矩阵是n 的函数，表明系统是线性时变的，,图中，是延时单元，它的输入为，输出。,示意结构图,二由系统的输入输出差分方程建立状态方程,对于离散系统通常用下列 阶差分方程描述（输入输出方程）,其系统函数为,考虑到离散系统用延时
14、单元来实现，因而上式改写为,其流图形式,选延时单元输出作为状态变量，则有,表示成矢量方程形式为,其中,三给定系统的方框图或流图建立状态方程,给定离散系统的方框图或流图，很容易建立系统的状态方程，只要取延时单元的输出作为状态变量即可。,四由研究对象的运动规律直接建立状态方程,9.6 离散时间系统状态方程的求解,离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似，包括时域和变换域两种方法。,矢量差分方程的时域求解An的计算离散系统状态方程的z变换解,概述,一矢量差分方程的时域求解,离散系统的状态方程表示为,此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。,设给定系统的起始状态为：在，则按式(1)有,以下用迭代
15、法，求 时刻的值：,（1）,对于任意n 值，当 可归结为,上式中，当 时第二项不存在，此时的结果只由第一项决定，即 本身，只有当 时，式(2)才可给出完整的 之结果。,(2),如果起始时刻选，并将上述对 值的限制以阶跃信号的形式写入表达式，于是有,还可解得输出为,由两部分组成：,一是起始状态经转移后在 时刻得到的响应分量；,另一是对 时刻以前的输入量的响应。它们分别称为零输入解和零状态解。,其中 称为离散系统的状态转移矩阵，它与连续系统中的 含义类似，也用符号 表示，写作,它决定了系统的自由运动情况。,可以看出，零状态解中，若令，则系统的单位样值响应为,可见，零状态解正是 与 的卷积和，也可写
16、作,关键：计算状态转移矩阵，即。,二 的计算,利用凯莱一哈密顿定理，,(3),设 为A的n个独立的特征单根，用下列联立方程组求系数,将 分别代入（3），即可。,若 的特征根为重根的情况，例如 为A 的m 阶重根，则对重根部分计算为,三离散系统状态方程的 变换解,和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的 变换方法也使状态方程的求解显得容易一些。,由离散系统的状态方程和输出方程,两边取 变换,整理,得到,取其逆变换即得时域表示式为:,状态转移矩阵即为,或,9.7 状态矢量的线性变换,在线性变换下状态方程的特性系统转移函数阵在线性变换下是不变的A矩阵的对角化由状态方程判断系统的稳定性,序言,从状态变
17、量的选择看出，同一系统可以选择不同的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在着变换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取了不同的基底，而状态矢量用不同基底表示时具有不同的形式，因此，对同一系统而言，以各种形式表示的状态矢量之间存在着线性变换关系。这种线性变换，对于简化系统分析是很有用的。,一在线性变换下状态方程的特性,矢量形式,系数间的关系,设原基底下状态方程表示为,经变换后,或,系数间的关系,二系统转移函数阵在线性变换下是不变的,从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此对同一系统不同状态变量的选择，
18、系统转移函数应是不变的：,上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，结论同样适用于离散系统。,三A矩阵的对角化,在线性变换中，使A阵的对角化是很有用的变换。A矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可以独立研究系统参数对状态变量的影响。在线性代数中已经分析了A矩阵的对角化。实际上就是以A矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把A矩阵对角化所需要的线性变换就是寻求A矩阵的特征矢量，以次构作变换阵P，即可把状态变量相互之间分离开。,四由状态方程判断系统的稳定性,用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状
19、态方程，则由A阵的对角化分析可知，A矩阵对角化后其对角元素是A矩阵的特征值，特征值决定了系统的自由运动情况。因此可根据A矩阵的特征值来判断系统的稳定情况。,连续系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断,连续系统稳定性的判断,这需要解方程,转移函数分母的特征多项式,此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况，当根落在s平面的左半平面，可确定系统为稳定的。,离散系统稳定性的判断,即系统的特征根位于单位圆内，和连续系统相似，A矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根位置相同，所以他们的判定准则也相同。,对于离散系统要求系统稳定，则要求A矩阵的特征值,9.8 系统的可控制性与可观测性,系统的可控性
20、定义、判别法系统的可观性定义、判别法可控、可观性与系统转移函数之关系,一系统的可控性定义、判别法,可控性：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。如果只有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全可控制。,判别法,1.根据状态方程的参数矩阵判别,设系统的状态方程,2.可控阵满秩判别法,即:若有,则连续系统完全,可控的充要条件是:,矩阵满秩。,称为系统的可控制判别矩阵，即可控阵。,3.单输入、单输出系统可控性的 矩阵约当规范型判据,二系统的可观性定义、判别法,可观性,
21、当系统用状态方程描述，给定控制后，能在有限的时间间隔内 根据系统输出惟一地确定系统的所有起始状态，则系统是完全可观。如果只能确定部分起始状态，则系统不完全可观。,可观性判别法,1.根据状态方程的参数矩阵判别,设系统的状态方程,2.可观阵满秩判别法,即:若有,则连续系统完全,可观的充要条件是:,矩阵满秩。,称为系统的可判别矩阵，即可观阵。,3.单输入、单输出系统可观性的 矩阵约当规范型判据,三可控、可观性与系统转移函数之关系,由转移函数表达式：,经非奇异变换而对角化：,暂且不考虑与输入信号直接相联系的，则有：,上式展开为：,得出结论：,2.转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观部分运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运动规律。（因为零极点相消部分必定是不可控或不可观部分，而留下的是可控或可观部分）,
