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1、第三章 图像变换,3.1 引言3.2 连续与离散的傅立叶变换3.3 二维离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform：DFT)性质3.4 快速傅立叶变换3.5 离散余弦变换(Discrete Consine Transform：DCT),3.1 引言3.1.1 概述,图像表示,像素的二维阵列（矩阵）,看成一组正交基合成,傅立叶变换（Fourier Transform)属于第二种表示,把图像看成一组正弦、余弦谐波合成。,为什么要在频率域研究图像增强 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。滤波在频率域更为直观，它可
2、以解释空间域滤波的某些性质。可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。有时也可以通过频率域试验，再选择空间滤波，实施在空间域进行。,3.1.1 概述,3.1.1 概述,由于变换的目的是为了使图像处理简化，因而对图像变换有以下三方面的要求：1.变换必须是可逆的，它保证了图像变换后，还可以变换回来。2.变换应使处理得到简化。3.变换算法本身不能太复杂。图像变换的理论很多，如离散的傅立叶变换(DFT)，沃尔什(Walsh)变换，离散余弦变换(DCT)及哈特林(Hoteling)变换。其中最常用的是傅立叶变换，是各种滤波的基础，在图像处理中广泛应用。,图像变换
3、图像转换到另一种空间处理，特有性质 图像处理和分析的数学基础,3.1.1 概述,3.1.2 线性系统,1.系统的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。,3.1.2 线性系统,2.线性系统的定义：1)对于某特定系统，有：,3.1.2 线性系统,2)线性系统移不变性的定义：对于某线性系统，有：,当输入信号沿时间轴平移T，有：,则称该线性系统具有移不变性线性系统作为一个运算，应满足以上两个条件。,3.2 连续与离散的傅立叶变换 3.2.1 连续傅立叶变换,要研究波形由哪些频率组成的，需要把输入信号用一维傅立叶变换成频率域的信号，这
4、是在处理和分析时间波形等一维信号方面的一个重要手段。,3.2.1 连续傅立叶变换,1.一维连续傅立叶变换：定义设 f(x)为实变量x的连续函数，f(x)的傅立叶变换表示为Ff(x),即：,3.2.1 连续傅立叶变换,如果给定F(u),f(x)可以由傅立叶逆变换得到：,3.2.1 连续傅立叶变换,几个概念 假设函数f(x)为实函数。但一个实函数的傅立叶变换可能为复函数：F(u)=R(u)+jI(u)（1）f(x)的傅立叶模（傅立叶谱）记为：|F(u)|F(u)|=R2(u)+I2(u)1/2（2）f(x)的傅立叶模平方（能量谱）记为：P(u)P(u)=|F(u)|2=R2(u)+I2(u),3.
5、2.1 连续傅立叶变换,（3）f(x)的傅立叶相位记为：(u)(u)=tan-1(I(u)/R(u)把F(u)写成指数形式：F(u)=F(u)ej(u)（4）傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量 这个名称源于尤拉公式中的指数项 exp-j2ux=cos2ux-jsin2ux 如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和的极限，则易推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中u的每个值决定了其相应cos,sin函数对的频率。,3.2.1 连续傅立叶变换,2.二维连续傅立叶变换 对于二维信号的图像信息来讲，一方面研究输入图像由哪些空间频率成分构成，另一方面在空间频率域中进行各种处理。对于空间频率
6、域来讲，有时也把图像本身叫做空间域（space domain)。空间频率（space frequency)表示单位长度上的正弦浓淡变化的重复次数。用在横轴和纵轴上分别对应于x轴方向和y轴方向的空间频率为u,v的二维平面（空间频率域）来表示。,3.2.1 连续傅立叶变换,3.2.1 连续傅立叶变换,3.2.1 连续傅立叶变换,二维连续傅立叶变换：如果f(x,y)连续可积，并且F(u,v)可积，则存在以下傅立叶变换对，其中u,v为频率变量：,3.2.1 连续傅立叶变换,二维傅立叶模、相位和模平方分别为：模（傅立叶谱）：|F(u,v)|=R2(u,v)+I2(u,v)1/2 相位：(u,v)=tan
7、-1(I(u,v)/R(u,v)模平方（能量谱）：P(u,v)=|F(u,v)|2=R2(u,v)+I2(u,v),3.2.2 卷积,这一节研究两个傅立叶变换之间的关系，它构成了空间域和频率域之间的基本关系，这些关系称为卷积。它们对深入理解在傅立叶变换基础上的图像处理技术是十分重要的。,3.2.2 卷积,卷积定理：如果f(x)的傅立叶变换是F(u)，并且g(x)的傅立叶变换是G(u)，那么,即f(x)*g(x)的傅立叶变换是F(u)G(u)一个类似的结果是，在频域中的卷积归结为在x 域中的乘积，即,以上两个结论称为卷积定理。,3.2.2 卷积,二维卷积公式：,其中,是伪积分变量。,卷积定理：,
8、式中f(x,y)的傅立叶变换是F(u,v)，g(x,y)的傅立叶变换是G(u,v),3.2.3 离散傅立叶变换(discrete Fourier transform：DFT),为了能用数字计算机计算傅立叶变换，对信号与频谱应有如下要求：(1)它们都应是离散的；(2)空域与频域都应为有限的。,1.一维离散傅立叶变换 假设连续函数f(x),通过取N个x单位的采样点，被离散化为一个序列：f(x0),f(x0+x),f(x0+2x),f(x0+N1 x)这里定义：f(x)=f(x0+xx)其中假设x现在的离散值是：0,1,2,N-1。f(x0),f(x0+x),f(x0+2x),.,f(x0+N1x)
9、表示相对与连续函数的任意N个均匀的空间采样。,3.2.3 离散傅立叶变换,当f(x)的取样始于原点，就可以用 f(0),f(1),f(2),.,f(N1)来表示 f(x0),f(x0+x),f(x0+2x),f(x0+(N1)x)的等间隔的采样值序列。,3.2.3 离散傅立叶变换,函数f(x0+xx)的离散傅立叶变换对有：正变换,u=0,1,2,.N-1,x=0,1,2,.N-1,逆变换,3.2.3 离散傅立叶变换,注意：式中u=0,1,2,N-1,这也类似于x,F(u)也是一个取N个等量间隔u取样后的离散函数，它可表示为F(u)=F(u0+uu),若F(u)的取样始于原点，则相应为u,2 u
10、,(N-1)u,即F(u)=F(u u)。,最终形成傅立叶变换对：f(x)F(u),3.2.3 离散傅立叶变换,2.二维离散傅立叶变换正变换,u=0,1,2,M-1;v=0,1,2,.N-1,x=0,1,2,.M-1;y=0,1,2,.N-1,逆变换,3.2.3 离散傅立叶变换,若M=N正变换,u,v=0,1,2,.N-1,x,y=0,1,2,.N-1,逆变换,3.2.3 离散傅立叶变换,式中 u,v=0,1,N-1,式中 x,y=0,1,N-1,或：令 则,几点说明：以上式子不是唯一的表示式1)前面的系数也可以在逆变换前面加 1/N2,还可以正、反变换前各加 1/N。如：,或,3.2.3 离
11、散傅立叶变换,傅立叶的正变换核为：,2)指数项也可以用相反的正、负号。,3.2.3 离散傅立叶变换,经常用亮度函数，通过对傅立叶变换模的显示，来显示傅立叶变换图像。由于模的值域可能大于显示的值域，因此要进行动态值域的压缩。另外，因为图像的亮度（灰度）正比于|F(u,v)|的幅度。但是，许多图像的傅立叶谱随着频率的增加而迅速减小，使高频项变得愈来愈不清楚。基于上述原因，为了提高视觉效果，常用下面的D(u,v)函数来代替|F(u,v)|，即：D(u,v)=c log(1+|F(u,v)|)其中：c=255/k;k=max(log(1+|F(u,v)|),离散傅立叶变换的显示,矩阵表示（当M=N 时）正变换：,即：,这里,逆变换：,即：,3.2.3 离散傅立叶变换,3.离散卷积离散一维卷积,离散二维卷积的定义,-相关的定义,记为：h(t)=f(t)g(t),小结 卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽带。,3.2.3 离散傅立叶变换,
