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1、选修4-1几何证明选讲,第一讲 相似三角形的判定和有关性质,若直线l1l2l3，ACA1C1，AB=BC.那么A1B1 与 B1C1 是否相等呢？,观察与思考,如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.,一、平行线等分线段定理,图1,图2,A,E,B,C,F,推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。,符号语言：ABC中，EFBC，AE=EB AF=FC,推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。,A,B,C,D,E,F,符号语言：在梯形ABCD中，ADEFBC，AE=EBDF=FC,例1:D、E 分别是ABC中AB边和AC
2、边的中点.求证:DE/BC且,作DE/BC,作DF/AC,=DE,二、平行线分线段成比例定理,除此之外，还有其它对应线段成比例吗？,?,反 比,合 比,合 比,反 比,合比,平行线等分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.,推论：,平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.,平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？,结论：后者是前者的一种特殊情况！,例2：如图,ABC中,DE/BC,DF/AC,AE=4,EC=2,BC=8.求BF和CF的长.,分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分别列出比例式求解.,解,DE/BC,DF/AC,
3、D,E,例3：如图,ABC中,DE/BC,EF/CD.求证:AD是AB和AF的比例中项.,分析:分别在ABC及ADC中利用平行线分线段成比例定理的推论,证明,AD2=ABAF,即AD是AB和AF的比例中项,例4：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.,已知:如图,DE/BC,DE分别交AB、AC于点D、E,DE=BF,如图,直线l1,l2被三个平行平面,所截,直线l1与它们的交点分别为A,B,C,直线l2分别为D,E,F,探究：,三 相似三角形的判定及性质,1.相似三角形的定义,对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似
4、三角形对应边的比值叫做相似比(或相似的系数).,判定两个三角形相似的简单方法,(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似.,如何证明？,在ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DEBC，则在ABC中有：,EAD=CABADE=ABCAED=ACB,作EF/DB交CB延长线于F,预备定理,平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.,判定定理1,对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.,简述:两角对应相等,两三角形相似,已
5、知,如图,在ABC和ABC中,A=A,B=B,求证:ABCABC,证明:,在ABC的边AB(或AB的延长线)上,截取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E.由预备定理得:ADEABCADE=B,B=BADE=BA=A,AD=ABADEABCABCABC,判定定理2,对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.,简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似,ADEABC,?,DE/BC,证明:作 DE/BC,交AC于E,AE=AE,因此E与点E重合即DE与DE重合,所以 DE/BC,采用了“同一法”的间接证明,引理 如果一条直
6、线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.,当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题，然后根据唯一性的原理断言命题为真，这种解题方法叫做同一法,用同一法解题一般有三个步骤：先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；从而说明已知图形符合结论,例 如图,在ABC内任取一点D,连接AD和BD.点E在ABC外,EBC=ABD,ECB=DAB.求证:DBEABC.,判定定理3,对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的
7、三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.,简述:三边对应成比例,两三角形相似,已知:如图,在ABC和ABC中,求证:ABCABC,证明:在ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E.,ADEABC,AD=AB,ADEABC,ABCABC,例 如图,已知D、E、F分别是ABC三边、BC、CA、AB的中点.求证：DEFABC,证明:线段EF、FD、DE都是ABC的中位线,DEFABC,直角三角形相似的判定定理,如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.,(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么
8、它们相似;(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.,(1)相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比；,(2)相似三角形周长的比等于相似比；,(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方；,2.相似三角形的性质,已知:梯形ABCD中ADBC,AD=36cm,BC=60cm,延长两腰BA,CD交于点 O,OFBC,交AD于E,EF=32cm,则OF=_.,F,80cm,问题1、两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？,D,问题2、两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？,结论：,1相似三角形外接圆的直径
9、比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方,2相似三角形内切圆的直径比、周长 比等于相似比，内切圆的面积比等于 相似比的平方,四 直角三角形的射影定理,1.射影,点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。,一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。,点和线段的正射影简称射影,探究：ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。你能从射影的角度来考察AC与AD，BC与BD等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？,射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例
10、中项。,用勾股定理能证明吗?,AB=AC+BC(AD+BD)=AC+BC即2ADBD=AC-AD+BC-BDAC-AD=CD，BC-BD=CD2ADBD=2CD CD=ADBD而AC=AD+CD=AD+ADBD=AD(AD+BD)=ADAB同理可证得BC=BDAB,例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD=2,DB=8,求CD,AC和BC的长.,总结：已知“直角三角形斜边上的高”这一基本图形中的六条线段中的任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的思想。,习题1.4,1.,直角ABC中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC的长,BD=144,AB=1
11、69,AC=65,BC=156,2.(2007广州一模)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于_,5,例2 ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD=ADDB 求证：ABC是直角三角形。,证明:在CDA和BDC中,总结：1、知识：学习了直角 三角形中重要的比例式和比例中项的表达式射影定理。2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。4、数学思想：方程思想和转化思想。,1.从特殊到一般的思考方法.,数学方法:,在研究数学问题时,通过考察特殊性问题获得一般规律的猜想,并从中得到证明一般规律的思想方法的启发;然后由特殊过渡到一般,对一般性结论作出严格证明.,2.化归思想方法.,在研究问题时,常常通过一定的逻辑推理,将困难的,不熟悉的问题转化为容易的熟悉的问题.恒等变形,换元法,数形结合法,参数法等,都是具体的化归方法.相似三角形的证明采用了化归为预备定理的方法.,
