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1、隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.一、隐函数概念 二、隐函数存在性条件分析 三、隐函数定理 四、隐函数求导数举例,1 隐函数,一个方程式所确定的函数例如：,一、隐函数概念,显函数：因变量可由自变量的某一表达式来表示,的函数例如：,隐函数：自变量与因变量之间的对应关系是由某,隐函数的一般定义：设有一方程,则成立恒等式,其中 若存在,记为,取值范围例如由方程可确定如下两,个函数：,注2 不是任一方程 都能确定隐函数,例如 显然不能确定任何隐函数,注1 隐函数一般不易化为显函数，
2、也不一定需要,化为显函数上面把隐函数仍记为，这,与它能否用显函数表示无关,注3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的,在2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.,确定的隐函数,二、隐函数存在性条件分析,条件时，由方程(1)能确定隐函数,并使,要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些,该隐函数具有连续、可微等良好性质?,(a)把上述看作曲面 与坐标,平面的交线，故至少要求该交集非空，即,，满足,连续是合理的,(b)为使 在 连续，故要求 在点,由此可见，是一个重要条件,点 存在切线，而此切线是曲面 在点,的切平面与 的交线，故应要求 在,(c)为使 在 可导，即曲线在,点 可微，且,(d)在以上
3、条件下，通过复合求导数，得到,三、隐函数定理,定理18.1(隐函数存在惟一性定理)设方程(1)中,的函数 满足以下四个条件：,(i)在以 为内点的某区域 上连续；,(ii)(初始条件)；,(iii)在 内存在连续的偏导数；,(iv),则有如下结论成立：,在 上连续,存在某邻域，在 内由方程(1)惟,一地确定了一个隐函数,并且满足：,，当 时，使得,证 首先证明隐函数的存在与惟一性,证明过程归结起来有四个步骤(图示如下)：,(a)“一点正,一片正”,由条件(iv),不妨设,因为 连续，所以根据,保号性，使得,(b)“正、负上下分”,因 故,把 看作 的函数，它在 上,严格增，且连续(据条件(i)
4、,因为 关于 连续，故由,(b)的结论，根据保号性，使得,(c)“同号两边伸”,(d)“利用介值性”,因 关于 连续,且严,格增，故由(c)的结论，依据介值性定理,存在惟,就证得存在惟一的隐函数:,由的任意性,这,若记 则定理结论 得证,下面再来证明上述隐函数的连续性:,欲证上述 在 连续.,类似于前面(c)，使得,取 足够小，使,由 对 严格增，而,推知,在 上处处连续,因此 在连续.由的任意性,便证得,且当 时，有,类似于前面(d)，由于隐函数惟一，故有,注1 定理 18.1 的条件(i)(iv)既是充分条件,又,是一组十分重要的条件.例如：,(双纽线),在,点 同样不满足,条件(iv)，
5、而在该点,无论多小的邻域内,用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，,注3 读者必须注意,定理 18.1 是一个局部性的隐,函数存在定理例如从以上双纽线图形看出:除了,三点以外,曲线上其余各点处都,确实不能确定惟一的隐函数(见图).,注 2 条件(iii)、(iv)在证明中只是用来保证在邻,域 内 关于为严格单调之所以采,存在局部隐函数(这不难用定理 18.1 加,以检验，见 四、例),的.当条件(iii)、(iv)改为,时，将存在局部的连续隐函数,定理 18.2(隐函数可微性定理)设函数 满,足定理 18.1 中的条件(i)(iv),在 内还存在连,续的.则由方程 所确定的隐,函数 在 I
6、 内有连续的导函数，且,(注:其中,示于定理18.1 的证明(d).,使用微分中值定理,使得,证 设则,由条件易知 F 可微，并有,显然也是连续函数,因 都是连续函数,故 时,并有,(3),注1 当 存在二阶连续偏导数时，所得隐函,数也二阶可导应用两次复合求导法，得,将(2)式代入上式，经整理后得到,注2 利用公式(2),(3)求隐函数的极值:,(a)求使 的点,即 的解,(b)在点 处因，而使(3)式化简为,(4),(c)由极值判别法,当 时,隐函数,在 取得极大值(或极小值),设在以点 为内点的某区域 上,则存在某邻域 在其内存在惟一的、连,续可微的隐函数，且有,注3 由方程,(5),确定
7、隐函数的相关定理简述如下：,F 的所有一阶偏导数都连续，并满足,(6),更一般地，由方程,确定隐函数 的相关定理,见教,材下册 p.149 上的定理18.3,这里不再详述.,解 令 它有连续的,求解 分别得到,四、隐函数求导数举例,例1 试讨论双纽线方程,所能确定的隐函数,再考虑隐函数的极值由于,在其他所有点处都存在局部的可微隐函数,所以，除 这三点外，曲线上在其他,所有点处都存在局部的可微隐函数,同理，除 这五点外，曲线上,由对称性可知,各点处都能确定局部的隐函数,例2 讨论 Descartes 叶形线,(7),所确定的隐函数 的存,在性，并求其一阶、二阶导数,解 令,.除此两点外,方程(7
8、)在其他,然后再算出:,为了使用公式(3),先算出:,由公式(2)求得,平切线和垂直切线,类似于例1 的方法,求出曲线上使 的点为,在几何上，它是两条曲线,和,隐函数在点 取得极大值,以上讨论同时说明,该曲线在点 和 分别有水,例3 试求由方程 所确定的隐,函数 在点 处的全微分,解法 1(形式计算法)对方程两边微分，得,将 代入，又得,解法 2(隐函数法)设,由于 上处处连续,而,因此在点 P 附近能惟一地确定连续可微的隐函数,且可求得它的偏导数如下：,以 代入,便得到,例4 用隐函数方法处理反函数的存在性及其导数.,解 设 在 的某邻域内有连续的导函数,且 现在来考察方程,由于,因此只要
9、就能满足隐函数定理的所有,条件,由方程(8)便能确定连续可微的隐函数,(8),因它满足 故它就是,的反函数.应用隐函数求导公式,又可得,故将此两式相加便得所需结果.,例 5 设 是由方程,所确定的隐函数,其中 F 具有连续的二阶偏导数,试证,证 易知 于是有,由此得到 再分别对 x 与 y 求偏导数,又得 因在假设条件下,1在隐函数的定义中，为什么强调必须指出,3设能确定连续可微的隐函数:,2在定理 18.1 对隐函数连续性进行证明时，,复习思考题,因变量的取值范围？(结合例题加以说明.),最后为什么要用到隐函数的惟一性？,4.试对例3 的两种解法(形式计算法与隐函数,法)作一比较,指出两者各有哪些优缺点?,
