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1、,2023年8月8日,材料力学,第12章 能量法与超静定问题,第十二章 能量法与超静定问题,12-1 概述,12-2 杆件变形能的计算,12-3 单位荷载法,12-4 能量法解超静定问题,12-1 概述,一、能量方法,二、基本原理,能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意方向的位移。,12-2 杆件变形能的计算,1、轴向拉压的变形能,2、扭转杆内的变形能,纯弯曲,横力弯曲,3、弯曲变形的变形能,4、组合变形的变形能,二、变形能的普遍表达式,克拉贝隆原理（只限于线性结构）,F-广义力包括力和力偶,-广义位移包括线位移和角位移,12-3 单位荷载法 莫尔定理,一、莫尔定理的推导,求任意点
2、A的位移 f A,A,变形能为,A,F1,F2,A,1、先在A点作用单位力F0，再作用F1,F2力，,2、三个力同时作用时,任意截面的弯矩：,变形能：,(Mohr积分),二、普遍形式的莫尔定理,注意：上式中应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相对应的广义力.,B,例题1 图示外伸梁，其抗弯刚度为 EI.用单位载荷法求 C 点的挠度和转角.,A,C,q,F=qa,a,2a,B,A,A,B,C,a,2a,解：,AB:,（1）求截面的挠度（在 c 处加一单位力“1”）,C,q,F=qa,a,2a,1/2,BC:,B,A,A,B,C,a,2a,C,q,F=qa,a,2a,RA,1/2,B,A,BC:
3、,AB:,(2)求 C 截面的转角(在 c 处加一单位力偶）,A,B,C,a,2a,C,q,F=qa,a,2a,RA,例题2 图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性节点,ABC=90在 C 处承受竖直力 F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp，求 C 点竖向的位移.,解：在 C点加竖向单位力,BC:,A,B,C,a,b,AB:,例题3 刚架受力如图，求A截面的垂直位移，水平位移及转角.,AB：,BC：,解：求A点铅垂位移（在A点加竖向单位力）,A,B,C,l,l,求A点水平位移（在A点加水平单位力）,AB：,BC：,A,B,C,l,l,求A点的转角（在A点加一单位力偶）,AB：
4、,BC：,A,B,C,l,l,例题4 计算图（a）所示开口圆环在 P力作用下切口的张开量 AB.EI=常数.,B,A,R,P,B,A,R,P,解：,O,O,例题5 图示为一简单桁架，其各杆的EI相等.在图示荷载作用下，A，C 两节点间的相对位移.,桁架求位移的单位荷载法为,A，C 两点间的距离缩短.,14-2 用力法解静不定结构,A,B,l,去掉多余约束代之约束反 力，得基本静定系,X1 为多余反力,例题6 如图所示，梁EI为常数，试求支座反力.,(2)变形条件：B点的 挠度为,(a),若用 11 表示沿X1方向的单位力在其作点引起的X1方向的位移,由于X1作用，B点的沿X1方向位移是 11
5、的 X1 倍,利用上式解出,(a)式成为,力法正则方程,(3)用莫尔定理求 1F,(4)用莫尔定理求 11,于是,例题7 轴线为四分之一圆周的曲杆A端固定，B端铰支（图a).在F作用下，试求曲杆的弯矩图.设曲杆横截面尺寸远小于轴线半径，可以借用计算直杆变形的公式.,/4,/4,F,解：曲杆为一次超静定，解除多与支座B，得到A端固定、B端为自由端的基本静定系，多余约束力为X1（图b).,(a),当基本静定系上只作用外载荷F时（图c)，弯矩为,当在B点沿X1方向作用一单位力时（图d)，弯矩方程为,a,应用莫尔积分，并设曲杆的EI为常量，,将1F和11代入,解得,曲杆任一横截面上的弯矩,例题8 计算
6、图(a)中所示桁架各杆的内力.设各杆的材料相同，横截面面积相等.,解：桁架内部有一个多余约束，所以各杆的内力确是超静定的.以杆件4为多余约束，假想的把它切开，并代之以多余约束力X1，得到图(b)所示的相当系统.,(a),1F表示杆4切口两侧截面因载荷而引起的沿X1方向的相对位移；11表示切口两侧截面因单位力而引起的沿X1方向的相对位移（图d).,力法正则方程,由图(c)求出基本静定系在F作用下各杆的内力FNi,应用莫尔定理,代入方程后求得,由叠加原理可知桁架内任一杆件的实际内力,例9 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数.,解：刚架有两个多余约束，为二次静不定结构;,选取并去除多余约束，
7、代以多 余约束反力；,建立力法正则方程,计算系数dij和自由项DiP,用莫尔定理求得,求多余约束反力,将上述结果代入力法正则方程可得,求其它支反力,由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中.,一、对称结构的对称变形与反对称变形,结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构.,14-3 对称及反对称性质的应用,例题10 在等截面圆环直径AB的两端，沿直径作用方向相反的一对F力（图a）.试求AB直径的长度变化.,解：沿水平直径将圆环切开(图b)，由载荷的对称性，截面C和D上的剪力等于零，只有轴力FN和弯矩M0.,利用平衡条件求出 FN=F/2，只有 M0 为多余约束力.,(a),由图(d)和图(e)求出,根据对称性，只研究圆环的四分之一(图c)，变形协调条件为,将1F和11代入变形协调方程中，解得,任意截面上的弯矩,例题11 试求图示刚架的全部约束反力，并作弯矩图，刚架EI为常数.,解：图示刚架有三个多余未知力.但由于结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方程求解.,用莫尔定理求D1F和d11.,B,则,由平衡方程求得其他支反力：,代入正则方程,谢谢听讲,
