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1、1,第六章 简单的超静定问题,6-1 超静定问题及其解法,.关于超静定问题的概述,(a),(b),图a所示静定杆系为减小杆1,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1,FN2,FN3，但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题。,图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx,FA,FB,FC，但只有三个独立的静力平衡方程 一次超静定问题。,超静定问题：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。,.解超静定问题的基本思路,例1,超静定结构,解除“多余”约束,静定基,(例如杆3与接点A的连接),在静定基上加上原有荷
2、载及“多余”未知力,并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件,相当系统,于是可求出多余未知力FN3。,由位移相容条件，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程：,补充方程为,于是可求出多余未知力FC。,例2,.注意事项,(1)超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。,(2)求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。,(3)无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。,(4)“多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。,如
3、上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。,例1 设1、2、3 三杆用绞链连结，如图所示,l1=l2=l，A1=A2=A,E1=E2=E,3杆的长度 l3,横截面积 A3,弹性模量E3.试求在沿铅垂方向的外力 F 作用下各杆的轴力.,这是一次超静定问题,6-2 拉压超静定问题,（2）变形几何方程,由于问题在几何，物理及 受力方面都是对称，所以变形后A点将沿铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起,变形几何方程为,(3)补充方程,物理方程为,(4)联立平衡方程与补充方程求解,15,例题2 求图a所示等直杆AB上,下端的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。,解:
4、1.列平衡方程 有两个未知约束力FA,FB(见图a)，但只有一个独立的平衡方程 FA+FB-F=0 为一次超静定问题。,第六章 简单的超静定问题,16,2.取固定端B为“多余”约束。相应的相当系统如图b，它应满足相容条件BF+BB=0，参见图c，d。,第六章 简单的超静定问题,3.补充方程为,由此求得,所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。,17,得 FA=F-Fa/l=Fb/l。,5.利用相当系统(如图)求得,4.联立求解 FA+FB-F=0,第六章 简单的超静定问题,例3 如图所示刚性梁AB由1，2，3杆悬挂，三杆的刚度均为EA。求P力作用下三杆的轴力。,解：,（1）,平
5、衡方程：,变形协调方程：,（2）,物理方程：,（3）,联解（1）（2）（3）式得：,此时，变形协调条件为,注意：受力图与变形图必须一致！,例4 图示结构，AB为刚性梁，1、2两杆刚度相同。求1、2杆的受力。,平衡方程:,变形关系:,物理关系:,联立解出:,.装配应力和温度应力,(1)装配应力,超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力装配内力，以及相应的装配应力。,图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了De，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点 A 处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇
6、交点A 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。,(a),(b),求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a),列出补充方程,由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为,(拉力）,(a),至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。,由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。,而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为,例题5 两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆1,2(图a)，其长度l=200 mm，直径d=10 mm。试求将长度为200.11 mm，亦即De=0.11
7、mm的铜杆3(图b)装配在与杆1和杆2对称的位置后(图c)各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为20 mm30 mm的矩形，钢的弹性模量E=210 GPa，铜的弹性模量E3=100 GPa。,解：1.如图d所示有三个未知的装配内力FN1,FN2,FN3，但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：,所以这仍然是一次超静定问题。,(d),2.变形相容条件(图c)为,这里的Dl3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。,3.利用物理关系得补充方程：,4.将补充方程与平衡
8、方程联立求解得：,所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的。,5.各杆横截面上的装配应力如下：,（拉应力）,（压应力）,(2)温度应力,也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。,例题6 试求两端与刚性支承连接的等截面杆(图a)当温度升高Dt 时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。,(a),解:1.由平衡方程只能知道杆两端的轴向支约束力数值相等而指向相反，但不能给出约束力的值
9、，可见这是一次超静定问题。,2.以刚性支撑B为“多余”约束后的基本静定系由于温度升高产生的伸长变形Dlt和“多余”未知力FN产生的缩短变形DlF分别如图所示。,3.变形相容条件为,4.补充方程为,5.由此得多余未知力,6.杆的横截面上的温度应力为,若该杆为钢杆而l=1.210-5/(C)，E=210GPa，则当温度升高Dt=40时有,（压应力）,6-3 扭转超静定问题,例题6-5 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。,解:1.有二个未知约束力偶矩MA,MB，但只有一个独立的静力平衡方程,故为一次
10、超静定问题。,2.以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移相容条件为,注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。,另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为,3.根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：,由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为,4.杆的AC段横截面上的扭矩为,从而有,例题6-6 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。,(a),解:1.铜杆和钢管的
11、横截面上各有一个未知内力矩 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb=Me，故为一次超静定问题。,2.位移相容条件为,3.利用物理关系得补充方程为,4.联立求解补充方程和平衡方程得：,5.铜杆横截面上任意点的切应力为,钢管横截面上任意点的切应力为,上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在r=a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。,6-4 简单超静定梁,.超静定梁的解法,解超静定梁的基本思路与解拉压超静定
12、问题相同。求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的静定基为A端固定的悬臂梁。,静定基,静定基在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c,d)时该系统即为原超静定梁的相当系统。,若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录)所得的补充方程为,从而解得“多余”未知力,所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为,该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。,思考 1.该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距
13、离为多少？,2.该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？,例题6-7 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。,解:1.该系统共有三个未知力(图b)FN,FB,FC，但平面平行力系仅有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。,2.取杆和梁在点A处的连接铰为“多余”约束，相应的“多余”未知力为FN。位移(变形)相容条件(参见图b)为wA=DlDA。,3.物理关系(参见图c,d)为,需要注意，因DlDA亦即图b中的 是向下的，故上式中wAF为负的。,4.于是根据位移(变形)相容条件得补充方程：
14、,由此求得,例题6-8 试求图a所示等截面连续梁的约束力FA,FB,FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5106 Nm2。,解:1.两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支座的数目。此梁为一次超静定梁。,2.为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止左,右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余”未知力，如图b。,此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原超静定梁上的荷载外，在中间支座B处的梁端还分别作用有等值反向的“多余”未知力矩 弯矩MB，图b中的“多余”未知力矩为一对正弯矩。位移相容条件(参见图b)为,3.利用教材中的附录可得物理关系为,应该注意，在列出转角 的算式时每一项的正负号都必须按同一规定(例如顺时针为正，逆时针为负)确定。,4.将物理关系代入位移相容条件补充方程，从而解得,这里的负号表示实际的中间支座处梁截面上的弯矩与图b中所设相反，即为负弯矩。,5.利用图b可得约束力：,然后绘出剪力图和弯矩图如图c,d。,例10 求图示结构中拉杆BC 的轴力。,B,C,A,EA,q,a,EI,l,解：,去掉BC 杆，带之以轴力FN。,本次课到此结束谢谢!,
