仿射坐标变换的一般理论.ppt

《仿射坐标变换的一般理论.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《仿射坐标变换的一般理论.ppt（66页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、在空间或平面中,同一点在不同坐标系下的坐标 不相同,从而图形方程也不相同.,如在平面上,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)只在直角坐标系中的方程才是标准方程:,在其他坐标系下方程可能会很复杂.在第二章中 的椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛 物面和马鞍面等也是在直角坐标系中讨论的.,第三章 二次曲线的分类,在一般的仿射坐标系中二次方程的图像是否也 属于这 14 类曲面之一?还有没有其他可能?于是 产生了下面的两个问题:,(1)对于给定的图形,怎样选择坐标系,使得它 的方程最简单?,(2)在不同的坐标系中,图形的方程之间有什 么关系?,第三章 二次曲线的分类,1.1 过渡矩阵、向量和点的坐标变

2、换公式,1.2 图形的坐标变换公式,1.3 过渡矩阵的性质,1.4 代数曲面和代数曲线,1.5 直角坐标变换的过渡矩阵、正交矩阵,1 仿射坐标变换一般理论,本节讨论坐标变换的一般规律,给出点、向量 和图形的坐标变换公式.,设空间中有两个仿射坐标系I:O;e1,e2,e3 和 I:O;e1,e2,e3.一个点或一个向量在 I 和 I中有不同的坐标(x,y,z)和(x,y,z),它们有什么关系?一个图形在 I 和 I中有 不同的方程,它们怎样互相转化?,1 仿射坐标变换一般理论,向量的坐标变换公式,设向量 在 I 和 I 中的坐标分别为(x,y,z)和(x,y,z),设e1,e2,e3 在 I 中

3、的坐标分别为(c11,c21,c31),(c12,c22,c32),(c13,c23,c33),即,根据坐标定义,1.1,1.2 坐标变换公式,=xe1+ye2+ze3,=x(c11e1+c21e2+c31e3)+y(c12e1+c22e2+c32e3)+z(c13e1+c23e2+c33e3),=(c11x+c12y+c13z)e1+(c21x+c22y+c23z)e2+(c31 x+c32y+c33z)e3,说明 在 I 中的坐标为,(3.1),1.1,1.2 坐标变换公式,写成矩阵形式,(3.1a),称(3.1)和(3.1a)为向量的坐标变换公式,(3.1a)中 的矩阵,称为从坐标系 I

4、 到 I 的过渡矩阵,是以e1,e2,e3 在 I 中坐标为各个列向量的三阶矩阵.,1.1,1.2 坐标变换公式,点的坐标变换公式,1.1,1.2 坐标变换公式,(3.2a),称(3.2a)为点的坐标变换公式的矩阵形式,其一般 形式为,(3.2),1.1,1.2 坐标变换公式,曲面的坐标变换公式,设 S 是一张曲面,它在 I 中的一般方程为,F(x,y,z)=0,求它在 I 中的一般方程.,对于点 M,如果它在 I 中的坐标为(x,y,z),则它在 I 中的坐标为,(c11x+c12y+c13z+d1,c21x+c22y+c23z+d2,c31x+c32y+c33z+d3),1.1,1.2 坐

5、标变换公式,因此 M S,F(c11x+c12y+c13z+d1,c21x+c22y+c23z+d2,c31x+c32y+c33z+d3)=0.,记上式左边函数为 G(x,y,z),则G(x,y,z)=0 是 S 在 I 中的一般方程,称它为由 S 在 I 中的方 程 F(x,y,z)=0 经过坐标变换转化为 S 在 I 中的方程.,1.1,1.2 坐标变换公式,曲线的坐标变换公式,由于曲线可以看作两张曲面的交线,它在 I 中的一般方程为两个三元方程式的联立方程组,将这两个方程都用坐标变换化为 I 中的方程,联立即得它在 I 中的一般方程.,1.1,1.2 坐标变换公式,例 3.1 设从坐标系

6、 I 到 I 的过渡矩阵为,O 在 I 中的坐标为(1,2,0).,(1)设平面 在 I 中的一般方程为,3x+2y z+2=0,求 在 I 中的一般方程.,1.1,1.2 坐标变换公式,(2)设直线 l 在 I 中的标准方程为,求 l 在 I 中的方程.,解:,由已知,向量的坐标变换公式为,(3.3),1.1,1.2 坐标变换公式,点的坐标变换公式为,(3.4),(1)将(3.4)代入平面的一般方程,得,3(2x+y+1)+2(y z 2)(x+z)+2=0,整理得 在 I 中的一般方程为,5x+5y 3z+1=0.,1.1,1.2 坐标变换公式,(2)方法1:求 l 在 I 中的一般方程.

7、,容易求得 l 在 I 中的一般方程为,将点的坐标变换公式(3.4)分别代入得两平面在 I 中的一般方程,化简并联立得 l 在 I 中的一般方程为,1.1,1.2 坐标变换公式,方法2:求 l 在 I 中的标准方程.,记M 是 I 中坐标为(1,0,2)的点,是 I 中坐标 为(3,2,1)的向量,则 l 过点M,平行于向量.,以 x=1,y=0,z=2 代入(3.4),得到关于 M 在 I 中坐标的方程组,分别求出 M 和 在 I 中的坐标 即可得到 l 在 I 中的标准方程.,1.1,1.2 坐标变换公式,同理可得 在 I 中坐标的方程组,由于两方程组系数矩阵相同,用矩阵消元法解:,1.1

8、,1.2 坐标变换公式,于是 M 和 在 I 中的坐标分别为(4,8,6)和(4,5,3),从而得 l 在 I 中的标准方程为,1.1,1.2 坐标变换公式,1.3 过渡矩阵的性质,命题:过渡矩阵是可逆矩阵.,证明:,因为 I 中坐标向量 e1,e2,e3 不共面,因此过渡矩阵 C 的行列式|C|0.,命题 3.1 设有三个仿射坐标系 I,I,I,I 到 I 的过渡矩阵为C,I 到 I 的过渡矩阵为D,则 I 到 I 的过渡矩阵为CD.,证明:,记,则 I 的坐标向量 ei 在 I 中的坐标为(d1i,d2i,d3i),于是 I 到 I的过渡矩阵为,根据公式(3.1a),ei在 I 中的坐标为

9、,1.3 过渡矩阵的性质,推论 若 I 到 I 的过渡矩阵为 C,则 I 到 I 的过渡 矩阵为 C 1.,例 3.2 已知仿射坐标系 I 的三个坐标平面在仿 射坐标系 I 中的一般方程为,yOz面:3x+2y 2z+1=0,xOz面:2x+y z 2=0,xOy面:x 2y+z+2=0,并且 I 的原点 O 在 I 中的坐标为(1,4,2),求 I 到 I 的坐标变换公式.,1.3 过渡矩阵的性质,解:,方法一.已知 I 的原点 O 在 I 中的坐标,可先求 I 到 I 的坐标变换公式.,设 I 到 I 的过渡矩阵为,1.3 过渡矩阵的性质,则 I 到 I 的坐标变换公式为,于是yOz平面,

10、即 x=0 在 I 中的方程为,d11x+d12y+d13z+1=0.,已知yOz面在 I 中的方程:3x+2y 2z+1=0,比较系数得:d11=3,d12=2,d13=2;,1.3 过渡矩阵的性质,类似可得:d21=4,d22=2,d23=2,d31=1,d32=2,d33=1.,从而,于是 I 到 I 的坐标变换公式为,1.3 过渡矩阵的性质,即,于是,1.3 过渡矩阵的性质,从而 I 到 I 的坐标变换公式为,1.3 过渡矩阵的性质,方法二.直接求 I 到 I 的坐标变换公式.,解方程组 可求得,I 的原点O 在 I 中的坐标为(5,15,23),由条件易求得x 轴,y 轴,z 轴的方

11、向可分别取为,(1,3,5),(2,5,8),(0,1,1),下面确定 I 的三个坐标向量在 I 中的坐标.,1.3 过渡矩阵的性质,k(1,3,5),m(2,5,8),n(0,1,1),k,m,n 0.,设 e1,e2,e3 在 I 中的坐标分别为:,则 I 到 I 的坐标变换公式应为,将 I 的原点 O 在 I,I 中的坐标 代入上式得,1.3 过渡矩阵的性质,解得 k=1,m=0.5,n=1,因此 I 到 I 的坐标变换公式为,1.3 过渡矩阵的性质,例 3.3 设(a1,b1,c1)与(a2,b2,c2)不成比例,证明 在任意仿射坐标系 I 中,形如,f(a1x+b1y+c1z,a2x

12、+b2y+c2z)=0,的方程的图像 S 是柱面.,分析:若 S 在坐标系中 I 的方程为 f(x,y)=0,则 S 为柱面,于是问题转化为:找到适当的坐标变换使得 S 在新坐标系I中的方程为f(x,y)=0.,1.3 过渡矩阵的性质,证明:,由于(a1,b1,c1)与(a2,b2,c2)不成比例,因此存在 a3,b3,c3,使得,是可逆矩阵.,设,1.3 过渡矩阵的性质,作仿射坐标系 I:O;e1,e2,e3,使得 e1,e2,e3 在 I 中的坐标依次是 C 1 的三个列向量.,于是I 中方程为 f(x,y)=0 的柱面在 I 中的方程为,f(a1x+b1y+c1z,a2x+b2y+c2z

13、)=0.,因此它就是 S.,则 I 到 I 的过渡矩阵为 C 1,从而 I 到 I 的过渡矩阵为C,注意到 I 与 I 有相同的原点,因此I 到 I 的 坐标变换公式为,1.3 过渡矩阵的性质,注:,平面坐标变换中过渡矩阵为二阶矩阵.,点的坐标变换公式为,(3.2b),向量的坐标变换公式为,(3.1b),1.3 过渡矩阵的性质,1.4 代数曲面和代数曲线,定义:如果 F(x,y,z)是 x,y,z 的一个多项式,则称方程 F(x,y,z)=0 的图像为代数曲面,把 F(x,y,z)的次数称为这 个代数曲面的次数.,注:,次数的概念并不是纯几何的,代数曲面 的次数与方程有关.,例如方程 x2+y

14、2+z2+2xy+2xz+2yz=0,与 x+y+z=0,次数不同,但表示同一平面.,代数曲面,(2)代数曲面及其次数与坐标系的选择无关.,如果一张代数曲面在坐标系 I 中的方程为 F(x,y,z)=0,当从坐标系 I 到坐标系 I 作坐标变换 时,多项式 F(x,y,z)变为函数 G(x,y,z),则 G(x,y,z)也是多项式,且次数不会超过 F(x,y,z);反过来从 I 到 I 的坐标变换又把 G(x,y,z)变为函数 F(x,y,z),从而 F(x,y,z)的次数 又不会超过 G(x,y,z),于是 F(x,y,z)与 G(x,y,z)是同次多项式.,1.4 代数曲面和代数曲线,问题

15、:空间中一个二次曲面和一张平面的交线 是什么曲线?,设 S 是空间中的一个二次曲面,它在坐标系 I 中的方程为 F(x,y,z)=0,为平面.,代数曲线,定义:如果在一个平面上 F(x,y)是 x,y 的一个多项式,则称方程 F(x,y)=0 的图像为代数曲线,把 F(x,y)的次数称为这 个代数曲线的次数.,以 为xOy平面,做一个新的坐标系 I,设从 I 到 I 的坐标变换把 F(x,y,z)变为 G(x,y,z).,1.4 代数曲面和代数曲线,于是 S 与 的交线在 I 的坐标平面xOy 上的 方程为,G(x,y,0)=0.,显然,它是次数不超过 2 的代数曲线.,这样上述问题的结论为:

16、如果 S 与 相交,并且 交点不是一个点,则交线是二次曲线或者直线.,则 S 在 I 中的方程为G(x,y,z)=0,而 在 I 中的方程为 z=0.,1.4 代数曲面和代数曲线,1.5 直角坐标变换,定义:对 n 阶实矩阵 A,若 A1=AT,则称 A 为 正交矩阵.,性质:,(4)A 是正交矩阵 A 的各行(列)元素的平方和等于1,不同两行(列)对应元素乘积之和为零.,(3)正交矩阵的逆矩阵和转置矩阵仍是正交矩阵;,正交矩阵,(2)两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵;,(1)若A 是正交矩阵,则|A|=1 或|A|=1;,命题 3.2 两个直角坐标系之间的过渡矩阵是正 交矩阵.,证明:设 I:

17、O;e1,e2,e3 和 I:O;e1,e2,e3 是 空间中的两个直角坐标系,I 到 I的过渡矩阵为,直角坐标变换,1.5 直角坐标变换,因为 I 是直角坐标系,C 的各个列向量依次是 e1,e2,e3 在 I 中的坐标,所以它们之间的内积为,eiej=c1ic1j+c2ic2j+c3ic3j,i,j=1,2,3.,又因为 I是直角坐标系,所以,c1ic1j+c2ic2j+c3ic3j=eiej=,1,i=j,0,i j,于是,CTC=,1.5 直角坐标变换,注:命题3.2也适用于平面的情况,即两个平面直 角坐标系之间的过渡矩阵是二阶正交矩阵.,对二阶正交矩阵,有,c11c12+c12c22

18、=c11c21+c21c22=0.,于是|c11|=|c22|,|c12|=|c21|.,1.5 直角坐标变换,根据上面的关系,取角,使得,cos=c11,sin=c21.,此时c12=sin,并且,当 c12=sin 时,c22=cos;,当 c12=sin 时,c22=cos.,于是二阶正交矩阵只有下面两种形式:,1.5 直角坐标变换,设 I:O;e1,e2 和 I:O;e1,e2 是平面上两个直角坐标系,且O,e1,e2在 I 中的坐标分别为,(d1,d2),(c11,c21),(c12,c22),则有,c11=e1e1=cos e1,e1,c21=e2e1=cos e2,e1,c12=

19、e1e2=cos e1,e2,c22=e2e2=cos e2,e2.,1.5 直角坐标变换,设 是e1 到 e1的转角,0 2.,(1)若 I 和 I 都是右手直角坐标系,则,c11=cos e1,e1=cos,c21=cos e2,e1=sin,c12=cos e1,e2=sin,c22=cos e2,e2=cos,从而 I 到 I 的过渡矩阵为,|C|=1.,1.5 直角坐标变换,(2)若 I 和 I 都是左手直角坐标系,则,c11=cos e1,e1=cos,c21=cos e2,e1=sin,c12=cos e1,e2=sin,c22=cos e2,e2=cos,从而 I 到 I 的过

20、渡矩阵为,|C|=1.,1.5 直角坐标变换,(3)若 I 是右手直角坐标系,I 是左手系,则,c11=cos e1,e1=cos,c21=cos e2,e1=sin,c12=cos e1,e2=sin,c22=cos e2,e2=cos,从而 I 到 I 的过渡矩阵为,|C|=1.,1.5 直角坐标变换,(4)若 I 是左手直角坐标系,I 是右手系,则,c11=cos e1,e1=cos,c21=cos e2,e1=sin,c12=cos e1,e2=sin,c22=cos e2,e2=cos,从而 I 到 I 的过渡矩阵为,|C|=1.,1.5 直角坐标变换,注:(1)平面(或空间)的两个

21、坐标系,如果它们都是右手系,或者都是左手系,则称它们是同定 向的;如果一个是右手系,另一个是左手系,则称它们是反定向的.,命题:设 I,I 都是平面(或空间)的直角坐标系,I 到 I 的过渡矩阵为C,则,I 和 I 同定向|C|=1;,I 和 I 反定向|C|=1.,1.5 直角坐标变换,(2)设 I 和 I 都是平面右手直角坐标系,由上面分析可知,I 到 I 的坐标变换公式为,即,1.5 直角坐标变换,(i)当 I 与 I 的原点重合时,I 可由 I 绕原点逆时针旋转 角得到,这样的的坐标变换称为转轴变换,(简称为转轴),其坐标变换公式为,即,1.5 直角坐标变换,即,1.5 直角坐标变换,

22、上述分析也表明,平面任一右手直角坐标变换 都可以经过移轴和转轴得到,即对于右手直角坐标系I:O;e1,e2 和 I:O;e1,e2,有,I:O;e1,e2,O;e1,e2,I:O;e1,e2,移轴,转轴,I:O;e1,e2,O;e1,e2,I:O;e1,e2,转轴,移轴,1.5 直角坐标变换,在 n=2,3 时,过渡矩阵的列向量代表了进行 坐标变换之后新坐标系 I 中坐标向量在旧坐标 系 I 中的坐标,正交矩阵的各行(列)元素的平方和等于1,不同两行(列)对应元素乘积之和为零,于是,正交矩阵的几何意义,二阶正交矩阵必然可作为某平面直角坐标变换的过渡矩阵.,三阶正交矩阵必然可作为某空间直角坐标变

23、换的过渡矩阵.,1.5 直角坐标变换,例 3.4 在平面上,设 x,y轴在原坐标系中的方程 分别为:,3x 4y+1=0,4x+3y 7=0,且新、旧坐标系都是右手直角坐标系.求 I 到 I 的点的坐标变换公式;直线 l1:2x y+3=0 在新 坐标系中的方程;直线 l2:x+2y 1=0 在原坐 标系中的方程.,解:,设原坐标系为 I:O;e1,e2,新坐标系为 I:O;e1,e2.,1.5 直角坐标变换,解方程组,得 x=1,y=1.因此 O 在 I 中的坐标为(1,1).,因为 x 轴的标准方程为,因此 x 轴的方向向量为(4,3),于是 e1 在 I 中的 坐标为,或者,1.5 直角

24、坐标变换,取,为 e1 在 I 中坐标,可得由 I 到 I 的坐标变换公式为,直线 l1:2x y+3=0 在新坐标系中的方程,即 x 2y+4=0.,1.5 直角坐标变换,I 到 I 的坐标变换公式为,l2:x+2y 1=0 在原坐标系中的方程:,即 2x 11y+14=0.,1.5 直角坐标变换,例 3.5 在平面右手直角坐标系中,求分式线性函 数,的图像.,解:,先将函数适当变形,从中寻求适当的坐标 变换使此图形的方程简单.,1.5 直角坐标变换,于是得,从而作移轴,即,1.5 直角坐标变换,则该图形在新坐标系中的方程为,这是以新坐标系的 x轴,y 轴为渐近线的等轴 双曲线.x轴,y 轴

25、在原坐标系中的方程分别为,1.5 直角坐标变换,例 3.6 在右手直角坐标系I:O,x,y中,一个椭圆经过点A(2,1)和B(0,2),且长轴和短轴分别在直线为x y+1=0,x+y+1=0上,求它的方程.,解:,分别以椭圆的长轴和短轴所在的直线为x轴和y轴建立右手直角坐标系I:O,x,y,并设椭圆在 I 中的方程为,解方程组,得O在I中的坐标(1,0).,1.5 直角坐标变换,如右图,可设x轴到x轴的 转角为45,于是I 到 I的坐标变换公式为,1.5 直角坐标变换,从而 I 到 I 的坐标变换公式为,即,1.5 直角坐标变换,代入椭圆在 I 中的方程,得椭圆在 I 中的方程,将A(2,1)和B(0,2)代入上方程可解得,a2=2,b2=6,因此椭圆在 I 中的方程为,即 x2+y2+xy+2x+y 2=0.,1.5 直角坐标变换,作 业,P134.习题3.1,1,5,7,12,13,