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1、-1-,第五节 平面与直线方程,一 平面方程的各种形式二 直线方程的各种形式三 平面直线间的夹角及相互关系,-2-,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量,法向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知平面的法向量为,设平面上的任一点为,必有,1 平面方程的点法式,且过点,一 平面方程的各种形式,-3-,平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,-4-,解,所求平面方程为,化简得,例1求过三点,和,的平面方程.,-5-,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,-6-,取法向量,化简得,
2、所求平面方程为,解,例2 求过点,，且垂直于平面,和,的平面方程.,-7-,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,-8-,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,例3 设平面过原点及点,且与平面,垂直，求此平面方程.,-9-,设平面为,将三点坐标代入得,解,例4 设平面与,三轴分别交于,（其中,求此平面方程.,代入所设方程得,平面的截距式方程,轴上截距,轴上截距,轴上截距,-10-,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,解,例5 求平行于平面,坐标面所围成的四面体体积为一个单位
3、的平面方程.,而与三个,代入体积式,所求平面方程为,-11-,空间直线可看成不平行两平面的交线,空间直线的一般方程,1 空间直线的一般方程,二 直线方程的各种形式,-12-,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,2 空间直线的对称式方程与参数方程,设直线过点,方向向量为,为直线上任意一点,直线的对称式方程,（点向式）,（标准式）,-13-,令,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方程,解,所求直线的方向向量为,所求直线方程为,直线两点式方程,-14-,例7 用对称式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,因所求直线与两平面的法向量都
4、垂直,取,对称式方程,参数方程,-15-,解,所以交点为,所求直线方程,例8 一直线过点,且和,轴垂直相交，,求其方程.,或,-16-,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,1 两平面间的夹角,三 平面直线间的夹角及相互关系,-17-,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,-18-,例9 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,-19-,两平面平行但不重合,两平面重合.,解,解,-20-,解,例9 设,是平面,外一点，求,到平面的距离.,-21-,点到平面距离公式,-22-,直线,直线,两直线的夹角为两直线的方向向量的夹角
5、（锐角）.,两直线的夹角公式,2 两直线的夹角,-23-,两直线的位置关系：,/,直线,直线,例如，,-24-,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,例10 求过点,且与两平面,和,的交线平行的直线方程.,-25-,3 直线与平面的夹角,-26-,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,-27-,解,为所求夹角,例11 设直线,平面,求直线与平面的夹角.,-28-,解,令,例12 求过点,且与直线,垂直相交的直线方程，并求点,到直线,的距离。,再求已知直线与该平面的交点,-29-,代入平面方程得,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,-30-,建立三元一次方程：,或,4 平面束方程,-31-,因此方程(3)表示一个平面。,-32-,例13,求过直线,和点,的,平面方程。,解法一,将直线方程化为标准式,所以已知直线的方向向量为,且过点,因此所求平面的法向量为,-33-,所以所求平面方程为,即,解法二,过已知直线的平面束方程为,所求平面过点,所以,所求平面方程为,-34-,例14,求直线,在平面,上的投影直线方程。,解,所求直线在与已知平面垂直的平面上，,和已知平面垂直，,过已知直线且与已知平面垂直的平面方程，,首先求,过已知直,线的平面束方程为,即,-35-,所求直线方程为,因此,
