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1、-1-,第四节 空间曲面与空间曲线,一 曲面方程的概念二 曲线方程的概念三 二次曲面的截痕法,-2-,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面方程的定义：,曲面的实例：,1 曲面方程的定义,一 曲面方程的概念,-3-,解,根据题意有,所求方程为,例1 求与原点,及,的距离之比为,的点的全体所组成的曲面方程.,-4-,根据题意有,化简得所求方程,解,例2 已知,求线段,面的方程.,的垂直平分,-5-,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,例3 方程 的图形是怎样的？,-6-,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）
2、已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,-7-,(1)球面,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,2 几种常见的曲面,(球面方程的标准式),-8-,将方程（1）展开得,由此可见球面方程的特点,(球面方程的一般式),球面方程又可表示为,-9-,定义,(2)柱面,并沿定曲线,平行于定直线,-10-,下面建立母线平行于,轴，准线为,平面曲线,的柱面方程。,因此,-11-,从柱面方程看柱面的特征：,-12-,柱面举例,-13-,轴的双曲柱面,母线平行于,-14-,定义,一条平面曲线绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,(3)旋转曲面,旋转轴,-15-,求由,平面曲线,绕
3、,轴旋转一周所得,的旋转面方程。,设旋转面上任意一点,则,-16-,同理：,-17-,例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,-18-,旋转椭球面,旋转抛物面,2）,绕,轴；,面上椭圆,-19-,4）,面上直线,圆锥面,绕,轴；,-20-,(4)锥面,通过定点,动直线,沿定曲线,-21-,例5 建立以椭圆,为准线，,坐标原点为顶点的锥面方程。,解,由,锥面方程为,椭圆锥面,-22-,空间曲线的一般方程,曲线上点的坐标都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上点的坐标不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点：,1 空间曲线的一般方程,
4、二 曲线方程的概念,-23-,例1 方程组,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,表示怎样的曲线？,-24-,空间曲线的参数方程,2 空间曲线的参数方程,随着参数的变化可得到曲线上的全部点.,-25-,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解,例2 如果空间一点,在圆柱面,出发，以角速度,绕,轴旋转，,沿平行,轴的正方向上升（其中,都是常数），,构成的图形叫做螺旋线试建立其参数方程,同时又以线速度,于,那么点,上从点,-26-,螺旋线的参数方程还可以写为,解,参数式方程为,-27-,以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的特征：,3 空间曲线在坐标面上的投影,-28-,类似地
5、：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影,面上的投影曲线,面上的投影曲线,-29-,例4 求曲线,解,在坐标面上的投影.,-30-,（2）因为曲线在平面,上，,面上的投影为,在,-31-,截线方程为,解,例5 求抛物面,与平面,的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.,-32-,例6,解,半球面和锥面的交线为,一个圆,-33-,三 二次曲面的截痕法,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之二次曲面,相应地三元一次方程所表示的曲面（平面）被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,-34-,1 椭球面,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,-35-,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,与平面 的交线为圆.,截面上圆的方程,球面,-36-,2 抛物面,（与 同号）,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,设,-37-,（与 同号）,双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：,设,图形如下：,-38-,3 双曲面,单叶双曲面,双叶双曲面,
