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1、2.1 多元函数的基本概念,第2章 多元函数微分学,复习:数轴上的邻域,回忆,2.1.1 n维空间Rn点集的有关概念,（1）邻域,二维平面上的点集,（2）区域,例如，,即为开集,内点.,内点：,开集：,开集.,边界点：,边界点.,连通：,连通的.,开区域：连通的开集称为开区域,例如，,例如，,闭区域：,开区域和闭区域统称区域,对于点集 E，如果存在正数 K，使一切点 PE 与某一点 A 间的距离|AP|不超过 K，即,对于一切点 PE 成立，则称 E 为有界点集。否则称为无界点集.,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（3）聚点,（1）内点一定是聚点；,说明：,（2）边界点可能是聚点；,例如，,
2、(0,0)既是边界点也是聚点,（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,（4）n 维空间,实数 x,数轴点.,数组(x,y),实数全体表示直线(一维空间),平面点,(x,y)全体表示平面(二维空间),数组(x,y,z),空间点,(x,y,z)全体表示空间(三维空间),推广：,n 维数组(x1,x2,xn),全体称为 n 维空间，记为,n 维空间中两点间距离公式,设两点为,特殊地，当 n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两 点间的距离,n 维空间中邻域概念：,区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,回忆,2.1
3、.2 多元函数的概念,类似地可定义三元及三元以上函数,函数的两个要素:,定义域、对应法则.,与一元函数相类似，对于定义域约定：,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,例2.5,求下列函数的定义域：,解,x,y,z,0,例2.6,解,所以,于是,表示多元函数的方法也有多种，如公式法、图形法、表格法等。,2.1.3 二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图,球面.,单值分支:,0,x,y,z,图1,y,x,z,0,图2,2.1.4 n元向量值函数(略),2.2.1 多元函数的极限-二重极限,2.2
4、 多元函数的极限与连续,利用点函数的形式有,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,（4）二重极限的几何意义：,0，P0 的去心 邻域,在,内，函数,的图形总在平面,及,之间。,补例1 求证,证,当 时，,原结论成立,例2.8,证明,证,因为,所以,所以,例2.9,证明,证,因为,所以,由夹逼原理知，,例2.10,求下列极限：,（1）,（2）,（3）,（4）,解,（1）,因为,所以,（2）,因为,（3）,其中,（4）,或者，,注意：是指 P 以任何方式趋于P0.,一元中,多元中,确定极限不存在的方法：,例2.11,解
5、,但取,其值随 k 的不同而变化。,不存在,故,2.2.2 多元函数的连续性,定义3,定义3,注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。,例如，,因此，,例2.12,讨论函数,的连续性。,解,函数 f 的定义域是不包含两坐标轴，但包含原点,的平面R2上所有点的集合。,又因为坐标原点（0，0）是,定义域的聚点，且,所以函数 f 在（0，0）处连续。而 f 在其定义域中的其他点上是连续的，因此该函数在其定义域上是连续的。,例2.13,讨论函数,在（0，0）处的连续性。,解,因为,所以函数 f 在（0，0）处连续。,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四
6、 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：,例2.14,求下列函数的极限：,（1）,（2）,（3）,解,（1）,（2）,显然点（1，0）为函数的连续点，所以,（3）,因为,令 x2+y2=t,而,而,所以,从而,即,2.2.3 闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,
