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1、,3复合函数与隐函数的偏导数,一、多元复合函数的导数(链式法则),定理：,链式法则如图示,全导数,解,解,解,例3 设,而,求,解,解,例5 设,解,例6 设,而,求,解,解,例8 设,求,例9 已知,证明：,左=,=右,得证,证：,解,令,记,同理有,于是,例11,证,从而,=x,设 z=f(u,v)可微,当 u,v 为自变量时,有,若 u,v 不是自变量,而是中间变量,是否仍有这一形式?,设 u=u(x,y),v=v(x,y)均可微,则,z=f(u(x,y),v(x,y),二、全微分的形式不变性,由链式法则,代入,z=f(u(x,y),v(x,y),即:不论u,v是自变量还是中间变量,z=
2、f(u,v)的全微分的形式不变.,解,例14 用全微分形式不变性求,解 记 u=xy,从而 z=f(u,v).,从而,隐函数求导法,方法:方程两边对 x 求导.,一元函数：,F(x,y)=0,注意：y 是 x 的函数y=f(x),然后解出 y.,(1)是否任何一个二元方程 F(x,y)=0.都确定了y 是 x 的函数(单值)?,如 x2+y2=1.,什么条件下确定 y=f(x)?,(2)若方程确定y=f(x).它是否可导?,给出一般的求导公式.,(3)三元(以上)方程F(x,y,z)=0.的情形怎样?,问题:,设函数F(x,y)在点 X0=(x0,y0)的邻域U(X0)内有连续偏导数.,一、方
3、程F(x,y)=0,且F(x0,y0)=0,则方程 F(x,y)=0在点 X0=(x0,y0)的某邻域内唯一确定一个有连续导数的(单值)函数 y=f(x),它满足 y0=f(x0).且,(隐函数存在定理),定理1,隐函数的求导公式,例1.方程 x2+y2 1=0,当x=0时,y=1.,法1.x2+y2=1,两边对 x 求导,y 是 x 的函数,2x+2y y=0,法2.F(x,y)=x2+y2 1,解,令,则,定理1可推广到方程中有多个变量的情形.,二、方程 F(x,y,z)=0,设三元函数 F(x,y,z)在 X0=(x0,y0,z0)的邻域 U(X0)内有连续编导，F(x0,y0,z0)=
4、0,Fz(x0,y0,z0)0,则在 X0 的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的函数 z=f(x,y),满足 z0=f(x0,y0),且,定理2,例3.,法1.记 F(x,y,z)=sin(x3z)2y z,有 Fx=cos(x 3z),故,Fy=2,Fz=3cos(x 3z)1,法2：sin(x3z)=2y+z,两边对 x 求偏导，z 是 x 的函数，y看作常数.,解得:,类似得,解,令,则,例5 设,求,令,例6 设,求,令,例7 设,且f具有连续的一阶,法1,确定,偏导数,求,令,例7 设,且f具有连续的一阶,法2,确定,偏导数,求,等式两边对x求偏导,例7 设,且f具有连续的一阶,法3,
5、确定,偏导数,求,利用一阶全微分形式不变性,思路：,整理得,解,令,则,整理得,整理得,例9 设方程F(x2+y2+z2,sinxy)=0,FC1,求,方法1(公式法):方程左边是x,y,z的复合函数用链式法则求Fx,Fy,Fz.,Fx=F 1,Fy=F 1,Fz=F 1,=2xF 1+ycosxy F 2,2x,+F 2,cosxy y,=2yF 1+xcosxy F 2,2y,+F 2 cosxy x,=2zF 1,2z,+F 2 0,方法2 方程 F(x2+y2+z2,sinxy)=0两边对 x 求偏导.其中 z 是 x 的函数,y看作常量.,=0,解得:,F 1,(2x+2z zx),+F2 cosxy y,例10 设 z=z(x,y)是由方程 x+y+z=(x2+y2+z2)所确定的函数,其中 C1，证明 z=z(x,y)满足,证 记 F(x,y,z)=x+y+z(x2+y2+z2),u=x2+y2+z2,有 F x=1,F z=12z u,=1 2x u,u 2x,2y u,F y=1,故,从而,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,1、链式法则（分三种情况）,2、全微分形式不变性,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,（理解其实质）,小结,（分以下几种情况）,隐函数的求导法则,3、隐函数求偏导,
