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1、,3复合函数与隐函数的偏导数,一、多元复合函数的导数(链式法则),定理：,链式法则如图示,全导数,解,解,解,例3 设,而,求,解,解,例5 设,解,例6 设,而,求,解,解,例8 设,求,例9 已知,证明：,左=,=右,得证,证：,解,令,记,同理有,于是,例11,证,从而,= x,设 z = f (u, v)可微, 当 u, v 为自变量时, 有,若 u, v 不是自变量, 而是中间变量, 是否仍有这一形式?,设 u = u (x, y), v = v (x, y)均可微, 则,z = f (u (x, y), v (x, y),二、全微分的形式不变性,由链式法则,代入,z = f (u
2、(x, y), v (x, y),即:不论u, v是自变量还是中间变量, z = f (u, v)的全微分的形式不变.,解,例14 用全微分形式不变性求,解 记 u = xy ,从而 z = f (u, v).,从而,隐函数求导法,方法: 方程两边对 x 求导.,一元函数：,F(x, y) = 0,注意： y 是 x 的函数y=f(x), 然后解出 y .,(1)是否任何一个二元方程 F(x, y) = 0. 都确定了y 是 x 的函数(单值)?,如 x2 + y2 = 1.,什么条件下确定 y = f (x)?,(2)若方程确定y = f (x). 它是否可导?,给出一般的求导公式.,(3)
3、三元(以上)方程F(x, y, z) = 0. 的情形怎样?,问题:,设函数F(x, y) 在点 X0 = (x0, y0)的邻域U(X0)内有连续偏导数.,一、方程F(x, y) = 0,且F (x0, y0) = 0,则方程 F(x, y) = 0在点 X0 = (x0, y0)的某邻域内唯一确定一个有连续导数的(单值)函数 y = f (x),它满足 y0 = f (x0). 且,(隐函数存在定理),定理1,隐函数的求导公式,例1. 方程 x2 + y2 1= 0,当x = 0时, y = 1.,法1. x2 + y2 = 1,两边对 x 求导, y 是 x 的函数,2x+2y y =
4、0,法2. F (x, y) = x2 + y2 1,解,令,则,定理1可推广到方程中有多个变量的情形.,二、方程 F(x, y, z) = 0,设三元函数 F(x, y, z) 在 X0=(x0, y0, z0)的邻域 U(X0)内有连续编导，F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)0, 则在 X0 的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的函数 z = f (x, y), 满足 z0=f (x0, y0), 且,定理2,例3.,法1. 记 F(x, y, z) = sin(x3z) 2y z,有 Fx = cos(x 3z),故,Fy = 2,Fz = 3cos(x 3z)
5、1,法2： sin(x3z) =2y +z,两边对 x 求偏导，z 是 x 的函数，y看作常数.,解得:,类似得,解,令,则,例5 设,求,令,例6 设,求,令,例7 设,且f具有连续的一阶,法1,确定,偏导数,求,令,例7 设,且f具有连续的一阶,法2,确定,偏导数,求,等式两边对x求偏导,例7 设,且f具有连续的一阶,法3,确定,偏导数,求,利用一阶全微分形式不变性,思路：,整理得,解,令,则,整理得,整理得,例9 设方程F(x2+y2+z2, sinxy)=0, FC1, 求,方法1(公式法): 方程左边是x, y, z的复合函数用链式法则求Fx , Fy , Fz .,Fx = F 1
6、,Fy = F 1,Fz = F 1,= 2xF 1+ ycosxy F 2,2x,+F 2,cosxy y,= 2yF 1+ xcosxy F 2,2y,+F 2 cosxy x,= 2zF 1,2z,+F 2 0,方法2 方程 F(x2+y2+z2, sinxy)=0两边对 x 求偏导. 其中 z 是 x 的函数, y看作常量.,= 0,解得:,F 1,(2x+2z zx ),+ F2 cosxy y,例10 设 z = z(x, y) 是由方程 x+y+z= (x2+y2+z2)所确定的函数, 其中 C1，证明 z = z(x, y) 满足,证 记 F (x, y, z) = x+y+z (x2+y2+z2),u = x2+y2+z2,有 F x = 1,F z = 12z u,= 1 2x u, u 2x,2y u ,F y = 1,故,从而,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,1、链式法则（分三种情况）,2、全微分形式不变性,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,（理解其实质）,小结,（分以下几种情况）,隐函数的求导法则,3、隐函数求偏导,
