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1、一.广义振动,振动、波动 横跨物理学所有领域,物理量在中心值附近作周期性变化,1.机械振动,位置或位移,2.非机械振动,电磁振荡、交流电,以上具有相似物理规律和研究方法,概述,第 九 章 振 动,1.,二.最基本的振动,简谐运动,2.,91 简谐运动 振幅 周期与频率 相位,一.简谐运动,以平衡位置为原点、建立图示坐标系,偏离x,k：劲度系数、一般为振动常数,A、：积分常数 初始条件,动力学方程,运动微分方程,运动方程,3.,a.x 平衡位置 量度,b.k、固有性质 与初始条件无关,A、初始条件 与固有性质无关,4.,讨论:,动力学分析 判断振动性质，求固有量,(动和静)平衡位置，偏离量x()
2、、力(矩)分析,5.,1.振幅 A,最大位移 表征能量,二.简谐运动的运动学描述,2.周期与频率,比较,即,弹簧振子固有周期,单位时间,全振动次数的2倍,、T、固有量，取决振动系统动力学特征,6.,3.相位,k=0,1,2,x=A,v=0,x=0,v 0,x=A,v=0,x=0,v 0,(或),如 t=0 则 初始状态,7.,任意角(4个象限),8.,92 旋转矢量,一.简谐运动与匀速圆周运动,如图所示,旋转矢量,9.,10.,二.旋转矢量法,1.表示谐振动（三要素）,3.确定初相位(或相位)(几何法),11.,由图知,相位差,(初相差),对(a)图 x2超前x1(21),(b)图 x1 超前
3、 x2/2 或 x2滞后 x1/2,12.,5.t 或,由旋矢图知,由此 与 t 可互求,6.谐振动合成(95),13.,三.谐振动的运动学分析,1.已知运动方程 一系列物理量,2.由已知条件运动方程(确定三要素)其它物理量,14.,分析:,求(1),a.先求运动方程(三要素),其中 为关键,如:,解析法,判断,旋矢法,由旋矢图,知,(2)x=0.04 m 到-0.04 m最短时间,15.,由图知,例2 一简谐运动的 x t 曲线，如图所示，求：,(1)初相；,(2)求运动方程,并用旋矢表示之；,(3)第一次到达 处的速度和加速度。,分析:,a.简便路径:用旋矢法求 和,并结合相位法求第三问,
4、b.旋矢图,第一次到达次 处相位,比较：解析法、旋矢法、相位法,讨论:,1,16.,如,(物理摆)一维角谐振动模型,93 单摆和复摆,一.复摆,如图 偏离平衡位置,l 质心 c 至转轴 o 距离,二.单摆,(数学摆)复摆一个特例,有,17.,O,R,r,例1一半径为 r 的均质球,可沿半径为 R 的固定大球壳的内表面作纯滚动(如图)试求圆球绕平衡位置作微小运动的动力学方程及其周期.,分析:,偏离 力(矩)分析,18.,c,例2 细杆(m,l)竖直时,水平轻质弹簧(k)处于自然状态,求细杆作小幅摆动时的周期T。,分析:,偏离,对o:,很小时,有,19.,t:系统能量,以弹簧振子为例,94 简谐运
5、动的能量,守恒,20.,简谐运动能量特征能量守恒,讨论:,能量法 判断广义简谐运动,振子偏离平衡位置 x 时,以弹簧振子为例：,两边对 t 求导,21.,例 求图示系统的振动频率.设轻绳与定滑轮间无相对滑动.,分析:,a.寻找平衡位置,建立图示坐标系,b.法 动力学法,偏离x 平动与转动隔离,对m:,对J:,m与J:,系统固有性质,22.,偏离 x 系统(m、k、J、地球),c.法 能量法,两边对 t 求导，,可得同样结果,23.,95 简谐运动的合成,一.两个同方向同频率简谐运动的合成,与相位差 有关,仍为谐振动，不变,24.,a.如,讨论:,b.如,或,如,静止,a.以上为两相干波干涉的基
6、础,b.建议：对下列特殊情况可直接用旋矢法求解,25.,比较：旋矢法与解析法,讨论:,26.,合振动轨迹方程(消去t)椭圆方程,二.两个相互垂直同频率简谐运动的合成,27.,讨论:,a.所含各种情况,=0,直线(谐振动),=/2,3/2 正椭圆,如 A1=A2 圆,其他情况 斜椭圆,b.右旋与左旋,如=2-10,如=2-10,x超前y 逆时针旋转(左旋),y 超前x 顺时针旋转(右旋),28.,*三.多个同方向同频率简谐运动的合成,合运动仍为简谐运动,如,则,29.,讨论:,a.若,b.若,（N个矢量构成一闭合图形）,30.,c.次级大,四.两个同方向不同频率简谐运动合成,拍,一般：合运动 不
7、是谐振动,讨论,的情况,31.,合运动,如,随t 变化的振幅,振动因子,32.,比较,证明(1)解析法,证明(2)旋矢法,从两振动同相 再次同相,由相对运动,拍现象应用领域 声学、无线电技术、速度测量,33.,一.阻尼振动,简谐运动 理想 等幅 守恒,96 阻尼振动 受迫振动 共振,实际 阻尼,如 2 02 其解为,式中A,初始条件,34.,讨论:,临界阻尼工程中有很多应用,c.临界阻尼,b.过阻尼,a.欠阻尼,35.,二.受迫振动,周期性简谐外力,则,其解,暂态响应,稳态响应,多种因素有关(如 0、P、),振动频率 驱动外力 P,机械能守恒,36.,三.(位移)共振,共振频率,*另速度共振
8、电流谐振(选频),令,速度最大,令,共振 有弊也有利,37.,一.振荡电路 无阻尼自由电磁振荡,97 电磁振荡,LC电路(无阻尼情况),38.,二.无阻尼电磁振荡的振荡方程,LC 电路,t:,有,振动周期,39.,三.无阻尼电磁振荡的能量,t:,电容器,电感线圈,总能量,守恒,40.,*98 简述非线性系统,一.线性系统(理想或近似),特征,1.动力学行为 满足(一组)线性微分方程,2.其解 满足线性叠加原理,二.非线性系统(实际,普遍),特征,1.叠加原理不成立,2.初始条件不同,会导致很不相同运动形式,3.可能出现完全随机混沌行为,41.,讨论:,小角度(线性系统)和大角度(非线性系统)物理行为,线性微分方程,其解,精确描述状态 确定性,两同频率谐振动合成 满足线性叠加原理,满足,其解,42.,非线性微分方程,如取前两项,一次迭代近似解：,不满足线性叠加原理,近似：两个不同频率谐振动合成（复杂振动）,其中,与A（能量，初始条件）有关,43.,初始条件不同可能会导致下列三种不同运动 不确定性,以上通常用如下相图(P-x 或-或)描述,44.,d/dt,施加某种影响,完全随机行为 混沌,满足某种条件（前沿课题）,45.,
