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1、小波与小波分析初步,小波分析简史,小波分析是自1986年以来由于Y.Meyer，S.Mallat 及I.Daubechies等的奠基工作而迅速发展起来的一门新兴科学。它是Fourier变换划时代发展的结果。应用十分广泛。它的发展历史可以追朔到1909年Haar的工作。从现代小波分析的观点看，1930年前后有许多与小波的新方向出现。但是此后的进展一直不大。1960年Calderon及20年后1980年Grossmann与Morlet的研究的”原子分解”是小波分析的新开端。,什 么 是 小 波,小波 对于函数，称(t)是小波，如果 小波(函数)特点 在整个实轴上可得，所以在无穷远处为零。图像是振荡
2、的，即图像与x 轴所夹的上半平面中的面积和下半平面的面积是相等的。小波英文中为Wavelet或Wavelets。研究的信号都是能量有限的，所以,Haar 小波,Haar小波 Haar小波函数定义为h(t)的Fourier变换,Haar小波及它的Fourier变换,Shannon小波,Shannon函数s(t)是由下述它的Fourier变换定义的函数取Fourier逆变换得到s(t)满足小波的定义。,Shannon小波及它的Fourier变换,Gauss小波与Mexic帽小波,Gauss小波是Gauss函数的一阶导数Mexic帽小波是Gauss函数的二阶导数,Mexic帽小波及它的Fourier
3、变换,Haar小波，高斯概率密度函数的一阶导数生成的小波，墨西哥帽小波,小波族(Wavelets),其中a 为尺度参数，b 为位移参数。,引入小波函数(t)的平移与伸缩构成函数族,连续小波变换,小波变换是对Fourier变换、Gabor变换的进一步伸延。连续小波变换 设，称积分小波变换，也称为连续小波变换。连续小波变换也可写为内积形式,连续小波变换的Matlab命令,Cwt函数-一维连续小波变换函数语法格式：Coefs=cwt(S,scales,wname,plot)Coefs=cwt(S,scales,wname,plotmode,xlim)S是信号；scales是正的实尺度；wname小波
4、名，计算向量一维小波系数；plot画图；plotmode是图形着色，它的有效值是：lvlscale-by-scale着色模式,glb 所有尺度的着色模式,abslvl or lvlabs 使用系数绝对值的scale-by-scale着色模式,absglb or glbabs 使用系数绝对值并考虑所有尺度的着色模式。Xlimx1 x2并且1=x1=x2=length(S)。,%设置有效支撑和网格参数，就是自变量的取值范围和在这个范围内的取值点的个数lb=-5;ub=5;n=1000;%计算并画出Mexican hat小波psi,x=mexihat(lb,ub,n);figure(1);subpl
5、ot(311);plot(x,psi,r,LineWidth,2);legend(Mexican hat)title(连续小波变换);%装载实际信号load vonkochvonkoch=vonkoch(1:510);lv=length(vonkoch);subplot(312);plot(vonkoch,LineWidth,2);legend(被分析信号);subplot(313);%执行连续小波 Mexican hat变换，ccfs=cwt(vonkoch,1:32,mexh,abslvl,200 400);,连续小波变换的图示,用墨西哥帽小波计算出的小波变换,作业 任给一个信号，计算小波
6、变换，并绘图,一个实际信号的小波变换,连续小波变换的频域表示,的Fourier变换对连续小波变换用Parseval恒等式意思是连续小波变换关于b的Fourier变换为,小波变换重构原来函数的条件,在Fourier变换中，给出了函数f(t)的Fourier变换，还可以用Fourier逆变换再变回到f(t)，即可以由 重构 f(t)。在小波变换中，有无逆变换，或者说，如何用小波变换 重构f(t)呢？要解决这一问题，除假定 外，还需要(t)满足容许性条件,基小波,基小波 如果 并且满足容许性条件，则称是一个基小波。相应的连续小波变换称为关于这个基小波的连续小波变换(或积分小波变换)。在以后谈到小波时
7、，如无特别声明，就指的是基小波。前边几个小波例子都是基小波。基小波与积分为0差别并不大，只需加上稍微强一点的条件。,函数用连续小波变换重构定理,如果是一个基小波，由它定义了一个连续小波变换，那么对所有 成立。而且对任何 和f 的连续点，有,重构定理证明,由Parseval恒等式得 类似地,代入定理第1式左边,是Fourier逆变换,这就证明了第一式。如果f 在 连续，取 则由Gauss函数卷积结论，得而这就证明了第二式。,正交小波,记正交小波定义 一个小波 称为是一个正交小波，如果 是 的一个规范正交基，即 而且每个 能写为 而上面级数的收敛是 中的收敛。,小波级数,如果是正交小波，对每个 有上式称为小波级数。两边取内积，得在连续小波变换中，取 这时小波系数变成了Haar小波是正交小波。,
