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1、小波分析及其应用,参考书目,小波分析及其工程应用 杨建国 著化学计量学方法 许禄 邵学广 著,主要内容,一、信号二、连续小波变换及其应用三、离散小波变换及其应用四、小波包分析及其应用五、结束语,一、信号,1、信号是什么?2、信号的分析与处理方法3、小波变换介绍,1、信号是什么？,物理学角度：信号是承载某些信息的物理量的变化历程。数学角度：信号就是函数，就是某一变量随时间或频率或其它变量而变化的函数。工程角度：信号是一组数据或者波形。,2、分析与处理方法,目的：从信号中提取有用信息。,Wigner-Ville分布,3、小波变换介绍,小波变换：首先由法国地球物理学家Morlet 在20世纪80年代
2、初在分析地球物理信号时提出的。研究小波的热潮在1986年后。,3、小波变换介绍,小波变换的应用：数据压缩、图像处理、机械故障诊断、信号降噪、边缘检测、神经网络、参数辨识、CT成像、语音识别与合成等。,二、连续小波变换及其应用,1、小波的定义2、小波变换的定义3、不同变换比较4、连续小波变换的应用,1、小波的定义,小波定义：满足一定条件的函数 通过平移和伸缩产生的一个函数族。式中：a-尺度参数，用于控制伸缩；b-平移参数，用于控制位置；-小波基或者小波母函数;,1、小波的定义,小波母函数 必须满足以下两个条件：条件1：小，迅速趋向于零条件2：波，满足,1、小波的定义,几种常用的小波：1、高斯函数
3、的m阶导数,1、小波的定义,2、Morlet小波,1、小波的定义,2、小波变换的定义,小波变换定义：可以理解为函数 f(t)在小波空间的投影。,2、小波变换的定义,连续小波变换的步骤：1、选择小波函数和尺度a。2、从信号的起始位置开始，将小波函数与信号进行比较，计算小波系数。3、改变b，在新的位置重新计算小波系数。4、改变尺度a,重复2、3步,连续小波变换流程,选择小波和尺度a,计算小波系数,改变b，计算小波系数,选择a，重复2、3步,2、小波变换的定义,2、小波变换的定义,结论：时间局部化能力；小波系数越大，相似程度越高；不同的尺度小波代表不同频率，小波系数越大，在这一频率中心周围的频率成分
4、就越多。,3、不同变换比较,1、傅立叶变换：表示:信号f(t)在整个时间域中的频率特征，或者说傅立叶变换在时间域中没有局部化性质。,3、不同变换比较,2、加窗傅立叶变换：目的：为了进行信号的局部化性质研究，加入了窗口函数g(t)进行处理。随着m的变化，g(t)在时间轴上移动，从而得到不同的局部化信息。,3、不同变换比较,既叫做Gabor变换，又叫做短时傅立叶变换。Gabor变换很好地解决了傅立叶变换的局部化性质。高频信号采用小的窗口；低频信号采用大的窗口。窗口的大小不能自动调整。,3、不同变换比较,3、小波变换：小波母函数相当于一个窗口函数，通过伸缩参数a可以改变窗口的大小。小波分析有“自动变
5、焦功能”。,4、连续小波变换的应用,应用之一：断点分析检测信号中的间断点,4、连续小波变换的应用,如图，一正弦信号在空间1000处有一个间断点，由于间断点持续时间很短，因此波形图上无法辨认出间断点位置。,4、连续小波变换的应用,只有基频处有信息,4、连续小波变换的应用,利用小波变换检测间断点，如图：,三、离散小波变换及其应用,1、离散小波定义2、离散小波变换定义3、Mallat算法4、离散小波变换的应用,1、离散小波定义,定义：所谓的离散小波是指对尺度a和偏移b进行离散化，而不是对时间的离散化。代入：得到：,1、离散小波定义,取a0=2,b0=1,得到二进离散小波以后说明的离散小波变换一般为二
6、进离散小波变换。,2、离散小波变换定义,定义：小波变换的思想是：将任意函数和信号表示为小波函数的线性组合。为小波系数。,2、离散小波变换定义,采用symmlet小波对图中的信号进行小波变换。,2、离散小波变换定义,在得到的小波系数中，只有以下几个系数不为零。也就是说可以用下列组合进行表示：,3、Mallat算法,S.Mallat在1989年在多分辨分析的基础上提出的快速算法。Mallat算法在小波分析中的作用相当于FFT在傅立叶变换中的作用。Mallat算法又称为塔式算法，由小波分解滤波器H、G和小波重构滤波器h、g对信号进行分解与重构。,3、Mallat算法,分解算法：,第j层，低频部分的小
7、波系数(低频部分又叫近似部分）,第j层,高频部分的小波系数（高频部分又叫细节部分）,j为层数，j=1，2，3J,3、Mallat算法,分解算法的图解：,第二层的细节部分,第二层的近似部分,3、Mallat算法,隔点采样：降低采样频率的一种方法。在信号样本中隔一个点选取一个点。做一次隔点采样，信号的采样频率就减少一半。信号中的数据量也减半。,重构算法,3、Mallat算法,重构算法图解：,3、Mallat算法,隔点插零：在离散时间信号的每两个样点之间插入一个零值。结果：1、信号采样频率增加一倍2、隔点采样和隔点插零是相反的过程。,4、离散小波变换的应用,应用之一：数据压缩背景：信号经过小波变换之
8、后从原来的空间投影到小波空间，有一部分小波系数很小，对信号没有意义。如果将小的系数去除，在重构的信号中不会丢失有意义的信息。,4、离散小波变换的应用,步骤：1、将原始信号进行小波变换，得到小波系数。2、将系数中足够小的系数去除既可以得到压缩后的数据。3、用数据对原始信号进行重构。引出问题：具体保留的系数多少呢？,4、离散小波变换的应用,具体保留的系数多少，需要设定一个阈值。两种方式：1、采用一定的计算公式。2、根据经验人工确定。主要考虑压缩比和失真程度。需要反复测试得到理想的阈值。在满足失真度的前提下，尽量提高压缩比。,4、离散小波变换的应用,例子：某电信号如图所示，数据长度1024。利用sy
9、m5小波对信号进行小波变换。分解到第二层并进行压缩。采用阈值：0.05*细节小波系数的绝对值最大值,4、离散小波变换的应用,进行小波变换后，对信号进行重构恢复信号。,4、离散小波变换的应用,采用symmlet滤波器，尺度为10,4、离散小波变换的应用,应用之二：平滑和滤噪滤噪是将信号中的干扰信号进行滤除。平滑是将信号中的高频部分滤除。减少信号的波动。,4、离散小波变换的应用,滤噪步骤：（类似数据压缩）1、将原始信号进行小波变换，得到小波系数。2、将系数中足够小的系数去除得到滤噪后数据。3、用数据对原始信号进行重构。,平滑步骤：（类似傅立叶滤波）1、将原始信号进行小波变换，得到小波系数。2、将系
10、数中代表高频率信号的系数去除，得到的数据。3、用数据对原始信号进行重构。,四、小波包分析及其应用,1、什么是小波包？2、小波包的快速算法3、小波包与离散小波变换4、小波包应用,1、什么是小波包？,先谈谈为什么要引入小波包？二进小波变换对高频部分不再分解。对音频信号等分析就不能满足要求。,1、什么是小波包？,1992年，Coifman,Meyer,Wickerhauser提出了小波包概念。定义：借助于小波分解滤波器在各个尺度上对每个子带均进行再次降半划分，从而得到比二进小波更加精确的信号分解。,2、小波包的快速算法,小波包分解树形图的图解：,H,G,H,G,H,G,2、小波包的快速算法,二进小波包快速算法：,2、小波包的快速算法,分解算法,2、小波包的快速算法,重构算法,3、小波包与离散小波变换,异：是否对高频部分的分解。同：三个关键的运算1、与小波滤波器的卷积2、隔点采样3、隔点插零,4、小波包应用,前面例子：某电信号如图所示，数据长度1024。选用sym5小波利用小波包分解到第二层，并进行压缩。,五、结束语,我的体会：小波分析有着很多方面的应用，除了前面提到的，还有在紫外，可见光谱，光声光谱等方面。小波分析拥有的灵活性在提取特征信息、滤除噪声等方面是传统方法不能企及的。,
