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1、医学图像变换(image transforms),为了有效地和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后在转换回图像空间以得到所需的效果。这些转换方法就是我们本讲要介绍的图像变换技术。,傅里叶变换 离散余弦变换 小波变换,医学图像变换,图像变换的作用,图像变换的定义 是将图像从空间域变换到其它域（如频域）的数学变换。图像变换的作用 使图像处理问题简化；有利于图像特征提取；有助于从概念上增强对图像信息的理解。,图像变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。,4.1 傅
2、里叶变换,傅里叶变换的作用（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。（2）可以将卷积运算化为乘积运算。（3）傅氏变换是进行图像恢复和重构的重要手段。（4）傅里叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的 角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。,傅里叶变换提出傅里叶（Fourier）：法国数学家，傅里叶级数：一个任意周期函数都可以分解为不同频率正弦信号的和。傅里叶变换：求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换逆变换可以重建原函数应用信号处理等（快速傅里叶变换FFT算法出现）,Fourier series,其中,an和bn表示第 n个谐振函数的振幅大小。确定这些系数的过程称为F
3、ourier分析。假设有下述函数：,t,F(t),A,-A,T,Time and Frequency,example:sin(t)+(1/3)sin(3 t),=,+,一、一维傅里叶变换,f(x)连续可积的，一维连续傅里叶变换定义为：,反变换：,函数f(x)和F(u)被称为傅里叶变换对。函数f(x)必须满足只有有限个间断点、有限个极值和绝对可积条件。F(u)也是可积的。,f(x)一般是实函数，F(u)是复函数：,|F(u)|称为函数f(x)的频谱或傅里叶谱，,称为傅立叶变换的相角。,对连续函数f(x)等间隔采样就得到一个离散序列。假设共采样N次，离散序列表示为：f(0)，f(1)，f(N-1)
4、，一维离散傅里叶变换定义为：,反变换：,1.一维离散傅里叶变换,二维傅立叶变换,正变换：,反变换：,二.二维离散傅里叶变换,要在数字图像处理中应用傅里叶变换，还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅里叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常，将受这种限制的傅里叶变换称为离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT)。,假设以正方形网格采样得到的图像用f(x,y)表示，则f(x,y)的二维离散傅里叶变换表示为：,反变换：,2.二维离散傅里叶变换,二维傅里叶变换的频谱：,相位角
5、：,左上、右上、左下、右下四个角部分对应于低频成分，中央部分对应于高频成分。若想在低频成分出现在中央位置，可以利用傅里叶变换的平移特性。,对于一幅图像，图像中灰度变化比较慢的区域可以用较低频率的正弦信号近似，灰度变化比较大的边缘需要用高频正弦信号近似。一幅图像中大部分都是灰度变化缓慢的区域，只有一小部分是边缘，因此在变换域的图像，能量主要集中在低频部分（对应幅值较高），只有一小部分能量集中在高频部分（对应幅值较低）。,由傅里叶变换和频率变量(u,v)定义的空间（1）变化最慢的频率成分(u=0,v=0)对应一幅图像的平均灰度（2）低频（原点附近）对应图像灰度变化慢的像素（3）高频（远离原点）对应
6、图像灰度变化快的像素,三.二维离散傅里叶变换的性质,平均值可分离性 平移性 周期性 共轭对称性 旋转不变性 分配性与比例性,The average value of 2-D discrete function is,Substituting u=v=0 in the Fourier transform equation yields,Therefore,the average value can be obtained by,1、平均值,、周期性,傅里叶变换及其反变换均以N为周期，即：,周期性表明：尽管F(u,v)对无穷多个u和v的值重复出现，但只需根据在任意周期内的N个值就可以从F(u,v)
7、得到f(u,v)。,、共轭对称性,如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换具有共轭对称性,、平移性,将f(x，y)乘以一个指数项，进行离散傅里叶变换，可以使频率域u-v平面坐标系的原点从(0，0)平移到(u0，v0)的位置。类似地，将F(u,v)乘以一个指数项，相当于把其二维离散傅里叶反变换的空域中心从(0，0)平移到(x0，y0)。平移不影响幅值。,图像中心化,将图像频谱的原点从起始点（0，0）移到图像的中心点（N/2,N/2）,只需要将f(x,y)乘以（-1）x+y因子进行傅里叶变换即可。,6、线性（分配性）,7、比例性,空间比例尺度的展宽，对应于在频域比例尺度的压缩，其幅值也减少为原来的
8、1/|ab|,傅里叶变换的比例性（a）比例尺度展宽前的频谱（b）比例尺度展宽后的频谱,、可分离性,一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成，即：第一次先对y进行一维傅立叶变换,在此基础上对x进行一维傅立叶变换,引入极坐标使,旋转不变性,在极坐标中，存在以下的变换对：,由旋转不变性可知，如果时域中f(x,y)旋转角度，则相应的傅里叶变换F(u,v)在频域中也将旋转同样的角度。,b),c)d),b),c)d),（a）原始图像；（b）原始图像的傅里叶频谱；（c）旋转45后的图像；（d）图像旋转后的傅里叶频谱,四.快速傅立叶变换,快速傅里叶变换并不是一种新的变换，是离散傅里叶变换（DFT）的一
9、种快速算法。由于DFT的计算量太大，即使采用计算机也很难对问题进行实时处理，所以并没有得到真正的运用。直到1965年库利和图基在计算数学杂志上发表著名的“机器计算傅里叶级数的一种算法”的问题，提出了DFT的一种快速算法，后来又有桑德和图基的快速算法相继出现，使DFT的计算大大简化，从而使DFT的运算在实际中真正得到广泛的应用。,直接计算DFT的问题及改进的途径,直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是和N2成正比，当N较大时，计算量太大，N=1024，1048576次，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965年发现了DFT的一种快速算法以后，情况才发生了根本的变化。,
10、显然，把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大减少。快速傅里叶变换算法就是基于这样的基本思路发展起来的。,FFT算法,按N的奇偶把f(x)分解为两个N/2点的子序列。偶数项为一组，奇数项为一组。,为自然数,1.DIFFFT算法,设序列f(x)的长度为N，且满足,分解后的运算量,运算量减少了近一半.,当N=2L时，共有L级蝶形，每级N/2个蝶形，每个蝶形有1次复数乘法2次复数加法。,复数乘法：,复数加法：,比较DFT,DIT-FFT与直接DFT运算量比较,FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线,傅立叶变换的本质是将一个时域上的信号转换到频率域。对于图像傅立叶变换是将以灰度信
11、息表示的图像转变成以不同频率信息表示的图像。也就是说是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数。而图像的频率信息是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。梯度大，图像亮否则就弱。任何图像的傅立叶变换也可以用许多基图像的线性组合来表示。,五、傅立叶变换的物理意义,六、基于傅里叶变换中的频域滤波,MATLAB实现,MATLAB中，可分别用函数fft、fft2、fftn来计算一维、二维和n维的FFT，其反变换依次为ifft、ifft2、ifftn.,MATLAB实现,N=100;f=zeros(50,50);f(15:35,23:28)=1;figure,imshow(f,n
12、otruesize);F=fft2(f,N,N);F2=fftshift(abs(F);figure,x=1:N;y=1:N;mesh(x,y,F2(x,y);%绘制三维网格图colormap(gray);colorbar,MATLAB实现,矩形函数,傅里叶变换的幅值,MATLAB实现,N=100;f=zeros(50,50);f(15:35,23:28)=1;figure,imshow(f,notruesize);F=fft2(f,N,N);F2=fftshift(abs(F);figure,imshow(log(abs(F2);colormap(gray);colorbar,N=100;f
13、=zeros(50,50);f(15:35,23:28)=1;M=zeros(50,50);M(20:25,23:28)=1;J=imrotate(f,-45,bicubic);figure,imshow(f,notruesize);figure,imshow(M,notruesize);figure,imshow(J,notruesize);,F=fft2(f,N,N);F2=fftshift(F);F3=fft2(J,N,N);F4=fftshift(F3);F5=fft2(M,N,N);F6=fftshift(F5);figure,imshow(log(abs(F2);colormap(
14、gray);colorbarfigure,imshow(log(abs(F4);colormap(gray);colorbarfigure,imshow(log(abs(F6);colormap(gray);colorbar,傅里叶变换的幅值对数函数,一、傅里叶变换 实现对一幅灰度图像的快速傅里叶变换,并求其变换后的系数分布。%图像的FFT变换clc;I=imread(girl.bmp);subplot(1,2,1)imshow(I);title(原图);subplot(1,2,2)imhist(I);title(直方图);colorbar;,J=fft2(I);figure;subplot(
15、1,2,1)imshow(J);title(FFT变换结果);subplot(1,2,2)K=fftshift(J);imshow(K);title(零点平移);figure;imshow(log(abs(K),),colormap(jet(64)；colorbar;title(系数分布图);,i=imread(cameraman.tif);g=fft2(i);subplot(1,2,1);imshow(i);k=(real(ifft2(g);subplot(1,2,2);imshow(k);,问题的提出：,4.2 离散余弦变换(Discrete Cosine Transform),傅里叶变换
16、的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍，不易计算。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换,变换后仅包含余弦项,所以称为离散余弦变换.,函数f(x)的一维离散余弦变换为：,一.离散余弦变换,逆变换：,其中：,正变换：,二维离散余弦变换,逆变换：,二维DCT变换是可分离的，能够应用一维DCT算法加以计算。,图像的低频能量集中在左上角，高频能量集中在右下角。因此DCT常常用于医学图像的压缩.,离散余弦变换在图像压缩中的应用a)未经压缩的原始图像 b)采用JPEG方式压缩存储的图像,图（b）的文件大小是图（a）的1/6.,尽
17、管只保留了10/64的DCT系数，抛弃了约85%的DCT系数，压缩后的图像具有较好的视觉效果。,实现对一幅灰度和彩色图像作的离散余弦变换,选择适当的DCT系数阈值对其进行DCT反变换。%图像的DCT变换RGB=imread(005.bmp);figure;subplot(1,2,1)imshow(RGB);title(彩色原图);a=rgb2gray(RGB);subplot(1,2,2)imshow(a);title(灰度图);figure;,b=dct2(a);imshow(log(abs(b),),colormap(jet(64),colorbar;title(DCT变换结果);figu
18、re;b(abs(b)10)=0;%idctc=idct2(b)/255;imshow(c);title(IDCT变换结果);,4.3 小波变换（wavelet transformation）,小波的概念是1974年由法国从事石油信号处理的工程师Morlet在分析研究地球物体信号时提出来的。小波变换是当前数学中一个迅速发展的新领域，应用十分广泛。小波变换是一个时间和频率的局部变换，能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算对函数信号进行多尺度细化分析，达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决傅里叶变换不能解决的许多难题，被誉为“数学
19、显微镜”，它是数学分析发展史上里程碑式的进展。,3.3 小波变换及其应用,1、小波简介 2、多分辨率分析背景知识 3、多分辨率展开 4、小波变换 5、小波分析在图像处理中的应用,小波的概念,小波的特点 一是“小”，即在时域具有时域的局部性。是正负交替的“波动性”，也即直流分量为零。,小波是小区域波，是一种特殊的有限带宽、均值为零的波形，和Fourier变换的基函数正弦波相比，小波变换中的小波一般都是不规则且不对称变化的。将信号分解成各种尺度和平移条件的小波波形.,只有频率分辨率而没有时间分辨率可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候,1807年，傅里叶理论指出
20、，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅里叶级数。,1909:Alfred HaarAlfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅里叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haar wavelets),1980：Morlet20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家Jean Morlet提出小波变换(wavelet transform，WT)的概念。20世纪80年代,开发了连续小波变换(continuous wavelet transform，CWT)1986：Y.Meyer法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的
21、光滑函数，用于分析函数用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展。,1988：Mallat算法法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。,序列展开 信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合。,其中，k是有限或无限和的整数下标，ak是具有实数值的展开系数，是具有实数值的展开
22、函数。如果展开是唯一的，对任何指定的f(x)只有一个ak序列与之相对应，则称 为基函数，展开序列 称为函数的基。,尺度函数,函数的伸缩和平移,3.3.3 一维小波变换,一维离散小波变换（DWT）,一维离散小波变换（DWT）,Mexihat小波,Mallat算法：,MallatM算法是小波分解的快速算法，与FFT在傅里叶分析中作用相似。只有在小波分解的快速算法出现之后，小波分析的实际意义才为人们所重视。,A为原始信号的近似信号，D为细节信号。cD是细节分量的系数。cA是小波分解的近似分量的系数，,四 快速小波变换算法,离散小波变换算法,Mallat算法,3.3.4 快速小波变换算法,离散小波逆变
23、换,二维离散小波变换,对于MN的离散函数f(x,y)的离散小波变换对为：,二维离散小波变换,二维离散小波变换类似于一维情况，可以用数字滤波器和抽样来实现，对于每一层小波分解，先对f(x,y)的行进行一维dwt，假若该层信号大小是MN，经过DWT后，得到两个M(N/2)分别代表近似和细节的二维信号，然后对这两个信号的列进行一维DWT，得到4个大小为（M/2）(N/2)的子图像。,二维离散小波变换,图像的二维离散小波变换,首先对原图像I(x,y)沿行向(水平方向)进行滤波和2-下采样，得到系数矩阵IL(x,y)和IH(x,y)，然后再对IL(x,y)和IH(x,y)分别沿列向(垂直方向)滤波和2-
24、下采样，最后得到一层小波分解的4个子图。,ILL(x,y)：I(x,y)的（粗）逼近子图 IHL(x,y):I(x,y)的水平方向细节子图 ILH(x,y):I(x,y)的垂直方向细节子图IHH(x,y):I(x,y)的对角线方向细节子图,二维小波变换,对逼近子图重复此过程，直到确定的分解水平，下图是二层小波分解的示意图。,图像多尺度分解，(a)一层分解，(b)二层分解,二维离散小波变换 举例,二维离散小波逆变换,与标准的傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不惟一性，即小波函数具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问
25、题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。,常用小波基,小波基举例,小波基举例,小波基举例,小波基举例,小波基举例,七、小波变换在图像处理中的应用,小波变换在医学图像处理上的应用思路：将空间域上的图像变换到小波域上，得到多层次的小波系数，根据所采用的小波基特性，分析小波系数特点，针对不同需求，处理小波系数，然后再对处理后的小波系数进行小波逆变换，得到所需的目标图像。因此，小波变换在医学图像恢复、图像增强、图像分割、图像配准和融合、图像重建等处理上都能得到应用。,基于小波变换的阈值化去噪方法,传统的去噪方法是将被噪声干扰
26、的信号通过一个滤波器，直接滤掉噪声频率成分，但对于脉冲信号、白噪声、非平稳过程信号等，传统方法存在一定局限性，对这类信号，在低信噪比情况下，经过滤波器处理，不仅信噪比得不到较大改善，而且信号的位置信息也被模糊掉了。基于小波变换的去噪方法利用小波变换中的尺度特性对确定信号具有一种“集中”的能力。,基于小波变换的阈值化去噪方法,基于小波变换的去噪首先对图像进行小波变换，然后按照一定的规则将小波系数划分为两大类：一类是重要的、规则的小波系数；另一类是非重要的或者受噪声干扰较大的小波系数。这种分类是以小波系数的绝对值作为单元，绝对值趋向零意味着小波系数所包含的信息量少，并且受到噪声干扰，因此给定一个阈
27、值，小于阈值的划为噪声，数值用零代替。超过阈值的重新给取个值。最后通过小波反变换得到去噪后的图像。,小波变换 应用图象去噪,基于小波变换的图像增强,图像增强技术的目的是采用一些技术手段，有选择地突出图像中感兴趣的特征或者抑制图像中不需要的特征，改善图像的质量。图像增强处理主要有两类方法：空域法和频域法，而频域增强的关键就是要借助具体的频域变换，来实现图像信息的转换，频域变换一般指傅立叶变换，也可以延伸为其他变换，如DCT变换和小波变换。,基于小波变换的图像增强,（a）原始核磁共振图像（b）小波变换增强结果,3、小波变换与图像编码,小波编码的基本思想：将原始图像经二维小波变换后，转换成小波域上的
28、小波系数，然后对小波系数进行量化编码。由于小波变换后使得原始图像能量集中在少数部分的小波系数上，因此最简单的系数量化方法就是将某一阈值以下的系数略去，或者表示为恒定常数，只保留那些能量较大的小波系数，从而达到数据压缩的目的。,3、小波变换与图像编码,（a）原始核磁共振图像（b）小波编码压缩结果,采用sym4进行3层小波分解，选择域值为24.18，采取全局域值压缩方法，压缩结果为能量保留99.47，小波系数置零率为91.63，可以看出整个图像质量和原始图像相差不大。,4、小波变换与图像融合,小波变换作为一种新兴的工程数学工具，它的金字塔式的分解方式，符合人的眼睛由粗及精的观察特点，而且，能在不同
29、尺度上得到相应的高频和低频系数，从而能对它们进行不同的处理，再结合图像的局部特征，就能在最大保留图像本身信息的前提下，获得视觉效果较好的融合图像。因此基于小波变换的多模式医学图像融合方法，具有较高的实际应用价值。,4、小波变换与图像融合,（a）原始MRI图像和SPECT图像,（b）融合后图像,从融合图像结果来看，它不仅能反映磁共振图像的解剖结构，保留了它的边缘细节和纹理特征，而且SPECT图像的功能信息也能较完整地表现出来，从而能在解剖图像上进行很好的功能定位，达到了不同模式医学图像的信息互补目的。,MATLAB小波变换,MATLAB中的小波分析工具箱为用户使用小波分析提供了全面的支持。虽然图
30、像处理工具箱本身没有小波图像处理的内容，但小波分析工具箱中的二维小波变换可以用于实现小波图像分解与重构、图像压缩、图像去噪以及图像融合等功能。,二维小波变换MATLAB函数,MATLAB小波变换,1、dwt2 函数功能：二维离散小波变换格式：cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname)cA,cH,cV,cD=dwt2(X,Lo_D,Hi_D)说明：cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname)使用指定的小波基函数 wname 对二维信号 X 进行二维离散小波变换；cA，cH,cV,cD 分别为近似分量、水平细节分量、垂直细节分量和对角细节分量；cA,cH,cV,cD=dwt2(X,L
31、o_D,Hi_D)使用指定的分解低通和高通滤波器 Lo_D 和 Hi_D 分解信号 X。,wcodemat函数功能：对数据矩阵进行伪彩色编码格式：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)Y=wcodemat(X,NB,OPT)Y=wcodemat(X,NB)Y=wcodemat(X)说明：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)返回数据矩阵X的编码矩阵Y；NB伪编码的最大值，即编码范围为0NB，缺省值NB16；OPT指定了编码的方式（缺省值为mat），即：OPTrow，按行编码 OPTcol，按列编码 OPTmat，按整个矩阵编码,ABSOL是函数的控制参数（缺省值为1
32、），即：ABSOL0时，返回编码矩阵,ABSOL1时，返回数据矩阵的绝对值ABS(X),I=imread(F:实验教学编写实验数据mri.jpg);nbcol=size(I,1);ca1,ch1,cv1,cd1=dwt2(I,db1);cod_ca1=wcodemat(ca1,nbcol);cod_ch1=wcodemat(ch1,nbcol);cod_cv1=wcodemat(cv1,nbcol);cod_cd1=wcodemat(cd1,nbcol);subplot(3,2,1),imshow(I);title(原始图像)subplot(3,2,3),imshow(cod_ca1,);ti
33、tle(低频系数图像)subplot(3,2,4),imshow(cod_ch1,);title(水平高频系数图像)subplot(3,2,5),imshow(cod_cv1,);title(垂直高频系数图像)subplot(3,2,6),imshow(cod_cd1,);title(斜线高频系数图像),MATLAB小波变换,2、idwt2 函数功能：二维离散小波反变换格式：X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname,S)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi
34、_R,S)说明：X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname)由信号小波分解的近似信号 cA 和细节信号 cH、cH、cV、cD 经小波反变换重构原信号 X；X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R)使用指定的重构低通和高通滤波器 Lo_R 和 Hi_R 重构原信号 X；X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname,S)和 X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S)返回中心附近的 S 个数据点。,I=imread(F:实验教学编写实验数据mri.jpg);ca1,ch1,cv1,cd1=dwt2(I,db1);A=idwt2(ca1,ch1,
35、cv1,cd1,db4);subplot(1,2,1);imshow(I);subplot(1,2,2);imshow(wcodemat(A),);,MATLAB小波变换,3、wavedec2 函数功能：二维信号的多层小波分解格式：C,S=wavedec2(X,N,wname)C,S=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D)说明：C,S=wavedec2(X,N,wname)使用小波基函数 wname 对二维信号 X 进行 N 层分解；C,S=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D)使用指定的分解低通和高通滤波器 Lo_D 和 Hi_D 分解信号 X。,MATLAB小波变换,4、waverec2 函数说明：二维信号的多层小波重构格式：X=waverec2(C,S,wname)X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R)说明：X=waverec2(C,S,wname)由多层二维小波分解的结果 C、S 重构原始信号 X，wname 为使用的小波基函数；X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R)使用重构低通和高通滤波器 Lo_R 和 Hi_R 重构原信号。,
