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1、第1页,一、从傅里叶变换到小波变换二、连续小波变换三、一维离散小波变换与重构四、二维离散小波变换与重构五、Matlab中的小波分析工具箱,第2页,小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法，我们可以先粗略地区分一下时域分析和频域分析。时域分析的基本目标：-边缘检测和分割；-将短时的物理现象作为一个瞬态过程分析。频域分析的基本目标：区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量。,一、从傅里叶变换到小波变换,第3页,一、从傅里叶变换到小波变换,（1）傅立叶变换的定义1.连续傅立叶变换对 离散傅立叶变换对,第4页,2.傅立叶变换的实质,傅里叶变换的实质是：把f(t)这个波形分解成许多不同频率的正
2、弦波的叠加和。这样我们就可以将对原函数f(t)的研究转化为对其权系数，及傅里叶变换F()的研究。从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。,第5页,3.傅立叶变换的局限性,由左图我们看不出任何频域的性质，但从右图中我们可以明显看出该信号的频率成分，也可以明显的看出信号的频率特性。虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把两者有机的结合起来。在实际信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。,第6页,（2）短时傅立叶变换,基本思想：把非稳态信号看成一系列短时平稳信
3、号的叠加，这个过程是通过加时间窗来实现的。一般选用能量集中在低频处的实的偶函数作为窗函数，通过平移窗函数来实现时间域的局部化性质。其表达式为：,其中“”表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数，f(t)是被分析的信号，在这个变换中，起着频限的作用，g(t)起着时限的作用。随着时间 的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。,第7页,g(t)往往被称之为窗口函数，大致反映了f(t)在 时刻频率处“信号成分”的相对含量。这样信号在窗函数上的展开就可以表示为 在这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，和 分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨
4、率就越高。很显然 和 都非常小，以便有更好的时频分析效果，但 和 相互制约的。,（2）短时傅立叶变换,第8页,（3）小波变换,小波分析优于傅里叶变换的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。小波变换提出了变化的时间窗。当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，频率分辨率高，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗，时间分辨率高。由此可知，小波变换采用的不是时间-频率域，而是时间尺度域。尺度越大，采用越大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比。,第9页,（3）小波变换,第10页,(4)小波的时间和频率特性,运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。时间：
5、提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。,时间A,时间B,第11页,(5)小波的3 个特点,小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：,第12页,(6)小波基
6、表示发生的时间和频率,Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）,傅里叶变换(Fourier)基小波基时间采样基,第13页,二、连续小波变换,设函数,，如果满足：,则称,为一个基本小波和小波母函数，式中,为函数,的傅立叶变换，上式也可称为可容性条件。,1.连续小波变换,令：,，,称为基本小波或母小波(Mother Wavelet),依赖于,生成的连续小波。式中,为尺度因子，改变连续小波的形状；,为位移因子，改变连续小波的位移。连续小波,在时域空间和频域空间上都具有局部性，其作用等同于短时傅立叶变换中的窗函数。,第14页,二、连续小波变换,因此函数f(t)的小波变换为：,尺度
7、因子,小波,平移参数,第15页,像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。图4表示了正弦波和小波的区别，由此可以看出，正弦波从负无穷一直延续到正无穷，正弦波是平滑而且是可预测的，而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数，其平均值为0，小波趋于不规则、不对称。,二、连续小波变换,第16页,二、连续小波变换,图4 傅立叶变换与小波变换基元,（a）正弦波曲线；(b)小波曲线,第17页,二、连续小波变换,信号,不同频率分量的组成
8、,图5 信号傅立叶变换过程,傅立叶变换过程,18,基本小波函数()的缩放和平移操作含义如下：(1)缩放。简单地讲，缩放就是压缩或伸展基本小波，缩放系数越小，则小波越窄，如图6所示。,图6 小波的缩放操作,小波变换过程,19,(2)平移。简单地讲，平移就是小波的延迟或超前。在数学上，函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，如图7所示。,图7 小波的平移操作(a)小波函数(t)；(b)位移后的小波函数(t-k),20,CWT计算主要有如下五个步骤：第一步：取一个小波，将其与原始信号的开始一节进行比较。第二步：计算数值C，C表示小波与所取一节信号的相似程度，计算结果取决于所选小波的形状，如图8所示
9、。第三步：向右移动小波，重复第一步和第二步，直至覆盖整个信号，如图9所示。第四步：伸展小波，重复第一步至第三步，如图10所示。,第21页,图8 计算系数值C,二、连续小波变换,第22页,图9 计算平移后系数值C,二、连续小波变换,第23页,图10 计算尺度后系数值C,二、连续小波变换,第24页,第五步：对于所有缩放，重复第一步至第四步。小波的缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信号的细节变化，表示信号频率越高；缩放因子scale越大，表示小波越宽，度量的是信号的粗糙程度，表示信号频率越低。,二、连续小波变换,第25页,二、连续小波变换,结论：尺度因子a
10、越小，的波形变窄，的频谱向高频端扩展；a越大，波形变宽，的频谱 向低频端扩展，从而实现过了时间频率窗的自适应调节。连续小波变换的实质就是以基函数 的形式把信号f(t)分解为不同频带的子信号，实现信号在不同频带、不同时刻的合理分离，也可以视为一个滤波器。,第26页,一维连续小波变换Matlab实现,COEFS=cwt(S,SCALES,wname)COEFS=cwt(S,SCALES,wname,plot)COEFS=cwt(S,SCALES,wname,PLOTMODE)COEFS=cwt(S,SCALES,wname,PLOTMODE,XLIM),第27页,在每个可能的缩放因子和平移参数下计
11、算小波系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数，即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，就会使分析的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换（Dyadic Wavelet Transform），它是离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）的一种形式。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。,三、一维离散小波变换与重构,第28页,小波变换就是将“原始信号 s”变换 成“小波 系数 w”，w=wa,wd（近似系数wa与细节系数wd)则原始信号s可分解
12、成小波近似a与小波细节d之和。s=a+d小波系数 w=wa,wd 的分量，乘以基函数，形成小波分解：小波近似系数wa 基函数A=近似分解 a-平均小波细节系数wd 基函数D=细节分解 d-变化,三、一维离散小波变换与重构,第29页,正变换：原始信号在小波基上，获得“小波系数”分量反变换：所有“小波分解”合成原始信号 例如：小波分解 a=小波系数 wa 小波基A,三、一维离散小波变换与重构,第30页,离散小波变换公式,正变换反变换 其中：是小波基函数,信号 s 有M个样本，J 级小波变换：,三、一维离散小波变换与重构,第31页,执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器，该方法是Mallat于198
13、8年提出的，称为Mallat算法。这种方法实际上是一种信号分解的方法，在数字信号处理中常称为双通道子带编码。用滤波器执行离散小波变换的概念如图11所示。S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器组，其中一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似值A（Approximations），另一个为高通滤波器，通过该滤波器可得到信号的细节值D（Detail）。,三、一维离散小波变换,第32页,图11 小波分解示意图,三、一维离散小波变换,第33页,在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号的高频分量。实际应用中，信号的低频分量往
14、往是最重要的，而高频分量只起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样，把高频分量去掉后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。,三、一维离散小波变换,第34页,由图11可以看出离散小波变换可以表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始信号经过一对互补的滤波器组进行的分解称为一级分解，信号的分解过程也可以不断进行下去，也就是说可以进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量进行连续分解，就可以得到信号不同分辨率下的低频分量，这也称为信号的多分辨率分析。如此进行下去，就会形成图12所示的一棵比较大的分解树，称其为信号的小波分
15、解树（Wavelet Decomposition Tree）。实际中，分解的级数取决于要分析的信号数据特征及用户的具体需要。,三、一维离散小波变换,35,图12 多级信号分解示意图（a）信号分解；(b)小波分数；（c）小波分解树,第36页,三、一维离散小波变换,第37页,图13 小波分解下采样示意图,三、一维离散小波变换,第38页,在Matlab中，离散小波变换分解算法主要使用如下几个常用命令：dwt 用于信号的单层分解 wavedec 用于信号的多层分解 wmaxlev 在多层分解前求最大的分解层数,三、一维离散小波变换,第39页,将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要根据需要把信号恢复
16、出来，(zju,opt王欣冉QQ39158405)也就是利用信号的小波分解的系数还原出原始信号，这一过程称为小波重构（Wavelet Reconstruction）或叫做小波合成（Wavelet Synthesis）。这一合成过程的数学运算叫做逆离散小波变换（Inverse Discrete Wavelet Transform，IDWT）。,三、一维离散小波重构,第40页,图14 小波重构算法示意图,三、一维离散小波变换与重构,第41页,1）重构近似信号与细节信号 由图14可知，由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原始信号。同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号的近似值或细节值，这时只
17、要近似系数或细节系数置为零即可。图15是对第一层近似信号或细节信号进行重构的示意图。,三、一维离散小波变换与重构,第42页,图15 重构近似和细节信号示意（a）重构近似信号；(b)重构细节信号,三、一维离散小波变换与重构,第43页,2）多层重构 在图15中，重构出信号的近似值A1与细节值D1之后，则原信号可用A1D1S重构出来。对应于信号的多层小波分解，小波的多层重构如图16所示。由图16可见重构过程为：A3D3A2；A2D2A1；A1+D1S。信号重构中，滤波器的选择非常重要，关系到能否重构出满意的原始信号。低通分解滤波器（L）和高通分解滤波器（H）及重构滤波器组（L和H）构成一个系统，这个
18、系统称为正交镜像滤波器（Quadrature Mirror Filters，QMF）系统，如图17所示。,三、一维离散小波变换与重构,第44页,图16 多层小波重构示意图,三、一维离散小波变换与重构,第45页,图17 多层小波分解和重构示意图,三、一维离散小波变换与重构,第46页,用于离散小波重构的命令主要有如下几个：idwt 用于单层小波重构 waverec 用于多层小波重构原始信号，要求输入参数 同小波分解得到结果的格式一致 wrcoef 用于重构小波系数至某一层次，要求输入参 数同小波分解得到结果的格式一致 upcoef 用于重构小波系数至上一层次，要求输入参数同小波分 解得到结果的格式
19、一致用于得到某一层次的小波系数的命令主要有以下几个：detcoef 求得某一层次的细节系数 appcoef 求得某一层次的近似系数 upwlev 重构组织小波系数的排列形式,三、一维离散小波变换与重构,第47页,二维离散小波变换是一维离散小波变换的推广，其实质上是将二维信号在不同尺度上的分解，得到原始信号的近似值和细节值。由于信号是二维的，因此分解也是二维的。分解的结果为：近似分量cA、水平细节分量cH、垂直细节分量cV和对角细节分量cD。同样也可以利用二维小波分解的结果在不同尺度上重构信号。二维小波分解和重构过程如图18所示。,四、二维离散小波变换与重构,48,图18 二维小波分解和重构过程
20、示意图（a）二维DWT；(b)二维IDWT,五、Matlab中的小波分析工具箱（Wavelet Toolbox,Ver.1.0),Matlab小波分析工具箱提供了一个可视化的小波分析工具，是一个很好的算法研究和工程设计，仿真和应用平台。特别适合于信号和图像分析，综合，去噪，压缩等领域的研究人员。,小波分析工具箱的七类函数：,常用的小波基函数。连续小波变换及其应用。离散小波变换及其应用。小波包变换。信号和图像的多尺度分解。基于小波变换的信号去噪。基于小波变换的信号压缩。,怎样获取小波基的信息：,在Matlab窗口键入“waveinfo(参数名）,?waveinfo(meyr)MEYRINFO I
21、nformation on Meyer wavelet.Meyer Wavelet General characteristics:Infinitely regular orthogonal wavelet.Family Meyer Short name meyr,Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support no DWT possible but without FWT CWT possible Support width infinite Effective support-8 8 Regularity indefinitely deriv
22、able Symmetry yes Reference:I.Daubechies,Ten lectures on wavelets,CBMS,SIAM,61,1994,117-119,137,152.,怎样获取小波基的信息：,计算小波滤波器系数的函数：,wname=bior2.2;rf,rd=biorwavf(wname)rf=0.2500 0.5000 0.2500rd=-0.1250 0.2500 0.7500 0.2500-0.1250,计算小波滤波器系数的函数：,用于验证算法的数据文件：,用于验证算法的数据文件：,连续小波变换：,格式：coefs=cwt(s,scales,wname)
23、coefs=cwt(s,scales,wname,plot)说明：s:输入信号 scales:需要计算的尺度范围 wname:所用的小波基 plot:用图像方式显示小波系数,例子：,c=cwt(s,1:32,meyr)c=cwt(s,64 32 16:-2:2,morl)c=cwt(s,3 18 12.9 7 1.5,db2),一维离散小波变换：,dwt cA,cD=dwt(X,wname)cA,cD=dwt(X,H,G)其中：cA：低频分量，cD：高频分量 X：输入信号。wname：小波基名称 H：低通滤波器 G：高通滤波器,多层小波分解：,A,L=wavedec(X,N，wname)A,L
24、=wavedec(X,N,H,G)其中：A：各层分量，L：各层分量长度 N：分解层数 X：输入信号。wname：小波基名称 H：低通滤波器 G：高通滤波器,其他的一维函数：,抽样：dyaddow补零插值：dyaup滤波器生成：qmf,orthfilt,wfilters反变换：idwt,idwtper,重构：upwlev,waverec,wrcoef,二维离散小波变换：,dwt2 cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname)cA,cH,cV,cD=dwt2(X,H,G)其中：cA：低频分量，cH：水平高频分量 cV：垂直高频分量 cD：对角高频分量 X：输入信号。wname：小波基名称 H
25、：低通滤波器 G：高通滤波器,二维信号的多层小波分解：,A,L=wavedec2(X,N，wname)A,L=wavedec2(X,N,H,G)其中：A：各层分量，L：各层分量长度 N：分解层数 X：输入信号。wname：小波基名称 H：低通滤波器 G：高通滤波器,其他的二维函数：,对变换信号的伪彩色编码：wcodemat反变换：idwt2,idwtper2,重构：upwlev2,waverec2,wrcoef2,小波包分解：,树操作,allnodes 列出数结构的所有节点。isnode 判断指定位置是否存在节点。istnode 判断一个节点是否为终端节点。nodejoin 树的剪枝。,小波包
26、分析函数：,besttree 寻找最优分解树。bestlevt 寻找最优满树。wentropy 计算熵值。wpdec 一维信号的小波包分解。wpdec2 二维信号的小波包分解。wpfun 小波包函数族 wpjoin 小波包分解树的节点合并 wprec 一维信号的小波包信号重构。wprec2 二维信号的小波包信号重构。,信号去噪与压缩：,在小波变换域上进行阀值处理。,其他的免费软件工具：,Wavelab David Donoho在斯坦福大学开发的Matlab程序库，最新版本为Wavelab 0.802，有1200多个文件。,LastWave 小波信号和图像处理软件，用C语言编写，可在Unix和M
27、acintosh上运行。,其他的免费软件工具：,值得关注的几个发展方向：,提升小波变换（Lifting scheme wavelet transform)多小波变换（Multiwavelet transform)线调频小波变换(chirplet transform)。,提升小波变换（Lifting scheme wavelet transform),值得关注的几个发展方向：,多小波变换：,在图像处理和信号分析的实际应用中，我们需要小波具有正交性和对称性。可是，实数域中，紧支、对称、正交的非平凡单小波是不存在的，这使人们不得不在正交性与对称性之间进行折衷。,Goodman等提出多小波的概念，其基
28、本思想是将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩展为由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由度。1994年，Geronimo,Hardin和Massopus构造了著名的GHM多小波。它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷，将实际应用中十分重要的光滑性、紧支性、对称性、正交性完美地结合在一起。与此同时，在信号处理领域，人们将传统的滤波器组推广至矢值滤波器组、块滤波器组，初步形成了矢值滤波器组的理论体系，并建立了它和多小波变换的关系。,多小波变换：,一维信号小波变换小波去噪声小波分析在图象处理中的应用,举 例,1.一维信号小波变换,1.一维信号小波变换,
29、1.一维信号小波变换,2.小波去噪声,一般噪声特点：（1）高频成分（细节），（2）幅度小：用阈值；去噪声过程：去除原始信号高频成分（细节）中幅度小于阈值部分。对2级小波，设定2个阈值，称“阈值2”和“阈值1”。去除1级噪声：去除1级小波细节分解中小于“阈值1”部分。去除2级噪声：去除2级小波细节分解中小于“阈值2”部分。恢复：将小波近似分解，加上去噪声后小波细节分解，即获得去除噪声的信号,2.小波去噪声,两级分解噪声去除，括号内保留部分数据,2.小波去噪声,原始信号(红),去噪后(黄),2.小波去噪声,16点原始信号 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9,小波去噪声,
30、两级分解,3、小波分析在图象处理中的应用,图象是二维信号，其小波变换相当于二次一维信号的小波变换：。（1）第一次一维信号的小波变换相当于图象的行变换。（2）第二次一维信号的小波变换相当于图象的列变换。小波变换用于图象压缩有良好的效果，已形成图象压缩的标准如JPEG2000。,3.1 小波变换用于图象特征抽取,第1级 L1斜线细节,第1级 L1水平细节,第1级 L1垂直细节,第2级 L2细节,近似图象,第3级 L3,3.2 小波系数分级方块表示法,第 3 级 L3分辨率,第 2 级 L2分辨率,第 1 级 L1分辨率,3.3 小波系数分级树形表示法,3.4 小波变换用于图象压缩,采用小波进行压缩
31、。作“小波变换”后，统计特性有改善，消除行和列之间的相关关系。有损压缩：根据视觉原理，不同分辨率小波系数进行比特分配。然后转换到一维作熵编码，如算术编码或霍夫曼编码。无损压缩：选择“整数小波变换”，无舍入误差。但不能进行比特分配。,3.4 小波变换用于图象压缩,第 3 级 L3 水平、斜线、垂直细节,第 2 级 L2 水平、斜线、垂直细节,第 1 级 L1 水平、斜线、垂直细节,两阈值线之间的直方图被去除（有损压缩）,第88页,Terms,Wavelet:小波Compact support:紧支撑Wavelet transform(WT):小波变换Continuous Wavelet tran
32、sform(CWT):连续小波变换Discrete Wavelet transform(DWT):离散小波变换Filter bank:滤波器族,第89页,Terms,Dyadic wavelet:二进小波Scaling function:尺度函数Basis wavelet:基小波Orthogonal wavelet:正交小波Orthonormal wavelet:正交归一小波Mirror filter:镜像滤波器Pyramid algorithm:金字塔算法Herringbone algorithm:鱼骨算法Mallat algorithm:马拉算法,第90页,Terms,Multiresolution analysis:多分辨率分析Denoising:去噪声Fractal:分形Self-similar:自相似Image fusion:图象融合,
