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1、一、引进定积分概念的两个例子,第五章定 积 分,第一节定积分的概念与性质,二、定积分的定义,三、定积分的几何意义,四、定积分的性质,一、引进定积分概念的两个例子,1.曲边梯形的面积,曲边梯形：在直角坐标系下，,由闭区间a,b上的连续曲线 y=f(x)0，,直线 x=a，x=b 与 x 轴围成的平面图形 AabB.,基于这种想法，,可以用一组平行于 y 轴的直线,把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，,只要分割得较细，,每个小曲边梯形很窄，,则其高 f(x)的变化就很小.,这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底，,底上某点函数值为高的矩形，,曲线 y=f(x)是连续的，,所以，当点 x 在区间
2、a,b 上某处变化很小时，,则相应的高 f(x)也就变化不大.,显然，分割越细，,近似程度就越高，,当无限细分时，,则所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，,进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边梯形面积.,(1)分割,在区间a,b内任意插入 n 1 个分点：,a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn=b，,把区间a,b分成 n 个小区间：,x0,x1，x1,x2，xi-1,xi，xn-1,xn.,这些小区间的长度分别记为,xi=xi xi-1(i=1,2,n).,过每一分点作平行于 y 轴的直线，,它们把曲边梯形分成 n 个
3、小曲边梯形.,根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积.,a=x0,x1,xi-1,xn=b,xi,(2)近似代替,在每个小区间 xi-1,xi(i=1,2,n)上取一点 xi(xi-1 xi xi),以 f(xi)为高，xi 为底作小矩形，,用小矩形面积 f(xi)xi 近似代替相应的小曲边梯形面积 Ai，,即,Ai f(xi)xi(i=1,2,n).,x1,x2,xi,xn,(4)取极限,当分点个数 n 无限增加，,即,(3)求和,把 n 个小矩形面积加起来，,它就是曲边梯形面积的近似值，,即,且小区间长度的最大值(即=maxxi)趋近于 0 时，,上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值
4、，,2.变速直线运动的路程,设一物体作直线运动，,已知速度 v=v(t)是时间 t 的连续函数，,求在时间间隔T1,T2上物体所经过的路程 s.,(1)分割,在时间间隔 T1,T2内任意插入 n-1 个分点：,T1=t0 t1 t2 ti-1 ti tn-1 tn=T2，,把T1,T2分成 n 个小区间：,t0,t1，t1,t2，ti-1,ti，tn-1,tn.,这些小区间的长度分别为：,ti=ti ti 1(i=1,2,n).,相应的路程 s 被分为 n 段小路程：si(i=1,2,n).,(2)近似代替,在每个小区间上任意取一点 xi(ti-1 xi ti),用 xi 点的速度 v(xi)
5、,近似代替物体在小区间上的速度，,用乘积 v(xi)ti,近似代替物体在小区间 ti-1,ti 上所经过的路程 si，,即,si v(xi)ti(i=1,2,n).,(3)求和,(4)取极限,二、定积分的定义,定义设函数 f(x)在区间 a,b 上有定义,任意取分点,a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn=b,把区间a,b分成 n个小区间 xi-1,xi，,称为子区间，其长度记为,xi xi xi-1(i=1,2,n),在每个子区间 xi-1,xi上,任取一点 xi(xi-1 xi xi)，,得相应的函数值 f(xi)，,作乘积,f(xi)xi(i=1,2,n)，,把所有乘积加起
6、来，得和式,当 n 无限增大，,且子区间的最大长度 l(即 l=maxxi)趋于零时，,如果上述和式的极限存在，,则称函数 f(x)在区间a,b上可积，,并将此极限值称为函数 f(x)在 a,b 上的定积分，,记作,即,f(x)：被积函数；,x：积分变量；,a 与 b：积分下限与上限.,符号,读作函数 f(x)从 a 到 b 的定积分.,f(x)dx：被积表达式或称被积分式；,其中：,a,b：积分区间；,关于定积分定义的几点说明：,(1)所谓和式极限,(即函数 f(x)可积)，,是指无论对区间 a,b 怎样分法，,也不论对点 xi(i=1,2,n)怎样取法，,极限都存在且有相同的极限值.,(2
7、)可以证明，闭区间上连续函数,(3)因为定积分是和式极限，,它是由函数 f(x)与区间a,b所确定的，,因此，它与积分变量的记号无关，,即,或只有有限个第一类间断点的函数是可积的.,(4)该定义是在积分下限 a 小于积分上限 b 的情况下给出的，,此时，只要把插入分点的顺序反过来写,a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn=b,由于 xi-1 xi，xi=xi-xi-1 0，,于是有,特殊地，当 a=b 时，,如果 a b，同样可给出定积分,即可，,根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：,(1)曲边梯形面积 A 是曲边函数 f(x)在区间a,b上的定积分，,即,(2)变
8、速直线运动的路程 s 是速度函数 v(x)在时间间隔 T1,T2 上的定积分，,即,例 1用定义计算,解被积函数 f(x)=e-x，,在区间 0,1 上连续，,所以 e-x 在 0,1 上可积.,为了计算方便起见，,把区间 0,1 等分成 n 份，,分点为,每个子区间的长度都是,在每个子区间,上都取左端点为 xi，,于是和式为,当 l=maxxi0+时，即 n+有,于是有,三、定积分的几何意义,当 f(x)0 时，,定积分在几何上表示,曲边 y=f(x)在区间 a,b 上方的曲边梯形面积，,如果 f(x)0，,曲边梯形在 x 轴下方，,此时该定积分为负值，,它在几何上表示 x 轴下方的曲边梯形
9、面积是负值，,当 f(x)在 a,b 上有正有负时，,x 轴上方的曲边梯形面积减去 x 轴下方的曲边梯形面积,定积分,四、定积分的性质,下面各性质中的函数都假设是可积的.,性质 1(1)两个函数和的定积分等于它们定积分的和，,即,(2)被积函数的常数因子可以提到积分外面，,即,证 只证性质 1.,根据定积分的定义，,有,性质 1(1)可推广到有限多个函数代数和的情况，即,性质 2 如果在区间 a,b 上 f(x)1，,那么,性质 3(积分对区间可加性)如果积分区间 a,b 被点 c 分成两个区间 a,c 和 c,b，那么,当点 c 不介于 a 与 b 之间，,即 c a b 或 a b c 时
10、，,结论仍正确.,性质 4 如果在区间 a,b 上有 f(x)g(x)，,那么,证由性质 1 与定积分的定义，知,由题设得知 f(xi)g(xi)，即 f(xi)-g(xi)0，且 xi 0(i=1,2,n)，,移项，得,推论 由性质 4 可得,所以上式右端的极限值非正，,从而有,性质 5(估值定理)如果存在两个数 M，m，,使函数 f(x)在闭区间 a,b有 m f(x)M，,那么,该性质的几何解释是：,曲线 y=f(x)在 a,b 上的曲边梯形面积,介于与区间a,b 长度为底，,分别以 m 和 M 为高的两个矩形面积之间.,性质 6(积分中值定理)如果函数 f(x)在区间 a,b上连续，,
11、=f(x)(b-a),那么在区间 a,b 上至少存在一点 x，,使下面等式成立：,证因为 b a 0，由估值定理得,由闭区间上连续函数的介值定理知道,在 a,b 上至少存在一个点 x，,于是得,当 b a 时，,上式仍成立.,使,该性质的几何解释是：,一条连续曲线 y=f(x)在 a,b 上的曲边梯形面积,f(x),x,等于区间 a,b 长度为底，a,b 中一点 x 的函数值为高的矩形面积.,例 2比较下列各对积分值的大小：,解(1)根据幂函数的性质，在 0,1 上，有,由性质 4，得,(2)令 f(x)=x-ln(1+x)，,f(x),函数 f(x)在区间 0,1 上单调增加，,所以，,f(x)f(0)=x-ln(1+x)|x=0=0，,从而有 x ln(1+x)，,由性质 4，得,知,由,在区间 0,1 上,解,令 f(x)=0，,得驻点 x=0.,比较驻点 x=0，区间端点 x=1 的函数值，,f(0)=e0=1，,其次，根据估值定理得,例 3估计定积分,最大值 M=1，,
