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1、微积分（高职经管类）, 5. 1定积分的概念,高教部,教材前后联系、地位和作用,在前面的课程中，我们通过学习导数，并利用导数研究函数的单调性、极值及经济活动中的优化问题等，渗透了微分思想 微分研究的是局部的、动态的和瞬时的事物，是发生在“0”时刻的事件；而数学家则希望借此来“以暂定久”、“以常制变”、“以局部驭整体”，这就需要用到定积分了！ 定积分的应用在高职经管类各专业课程中十分普遍。,教学目标,、知识与技能目标：,1通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的分割、近似代替、求和、取极限实际背景，了解“分割、近似代替、求和、取极限”的思想方法，建构定积分的认知基础；,2通过这部分内容的教学，
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和辨证思维能力。,3会求简单的曲边梯形的面积,教学目标,、过程与方法目标：,1通过类比“割圆术”，引导学生萌发“分割”、“近似”、“以直代曲”的想法，变曲为直；,2通过对比分割后图象面积差的变化特点，突出“细分割、近似和、渐逼近”的数学过程；,3通过数学软件的演示，观察数据特征，让学生经历“刨光磨平”的逼近过程，从直观上理解极限思想，接受极限值即准确值的数学事实,教学目标,、情态与价值目标：,1从生产生活实践中创设情境引出课题，培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神，鼓励同学们勤于思考、刻苦学习；,2帮助学生建立“分割、近似、求和、取极限”的定积分思想
3、，渗透“化整为零零积整”的辨证唯物观,教学重点、难点,了解定积分的基本思想方法（以直代曲、逼近的思想），初步掌握求曲边梯形面积的“四步曲”“分割、近似、求和、取极限”,1掌握“以直代曲”“逼近”思想的形成过程，尤其是“刨光磨平”的极限过程； 2求和符号,、教学重点：,、教学难点：,学习方法,1.发现法解决第一个案例,2.模仿法解决第二个案例,3.归纳法总结出概念,4.练习法巩固加深理解,教学方法以讲授为主：案例教学法（引入概念） 问题驱动法（加深理解） 练习法（巩固知识） 直观性教学法（变抽象为具体）,教学手段板书教学为主，多媒体课件为辅（化解难点、保证重点）,定积分的概念,案例1曲边梯形的面
4、积（重点解决）,案例2变速直线运动的路程（类比简单解决）,探-究,思-解,归-结,探-究,思-解,归-结,定 义,总 体 设 计,教学过程设计,平面几何图形的面积,复习引入,矩形,三角形,圆,平行四边形,梯形,正六边形,思解阶段概念探索阶段启发探究引人入胜(8分钟),如何求这些不规则图形面积？,思解阶段概念探索阶段启发探究引人入胜(8分钟),问题：如何计算曲边梯 形的面积呢？,问题简化,引例1 曲边梯形的面积,思解阶段概念探索阶段启发探究引人入胜(8分钟),正六边形的周长,正十二边形的周长,正 形的周长,“割圆术”是怎样操作的？对我们有何启示？,所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼
5、近圆周并以此求取圆周率的方法。,思解阶段概念探索阶段启发探究引人入胜(8分钟),问题简化,引例1 曲边梯形的面积,思解阶段概念探索阶段启发探究引人入胜(8分钟),（1）能否直接求出面积的准确值？（2）用什么图形的面积来代替曲边梯形的面积呢？三角形、矩形、梯形？（3）采用一个矩形的面积来近似与二个矩形的面积和来近似，一般来说哪个值更接近？二个矩形与三个相比呢？,提出几个问题（注意启发与探究）。,（4）猜想:让学生大胆设想，使用什么方法，可使误差越来越小，直到为零？,（5）论证：多媒体图像演示，直观形象模拟,让学生逐步观察到求出面积的方法.,（6）教师讲解分析:“分割成块、近似代替、积累求和、无穷
6、累加”的微积分思想方法。,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,思解阶段概念探索阶段启发探究引人入胜(8分钟),归纳曲边梯形面积的方法,(2)近似代替:任取xixi-1, xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。,(4)取极限:，所求曲边梯形的面积S为,(3)求和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,xi,xi+1,xi,(1)分割:在区间a,b上等间隔地插入n-1个点,将它分成n个小区间: 每个小区间宽度,引例2 汽车的行驶路程,行驶速度是变化的，如何得到它
7、行驶的路程？,类比方法,具体计算步骤如下：,(1) 分割,(2) 近似代替,(3) 求和,(4) 取极限,ti,tn,t0,ti+1,xi,归结阶段提炼概念阶段类比探究数学建模(7分钟),共同点：特殊的和式极限，并写出模型。,方法：化整为零细划分,不变代变得微分, 积零为整微分和,无限累加得积分。,归结阶段提炼概念阶段类比探究数学建模(7分钟),案例共性的归纳,定义：,第i个小区间的长度依次为,在第i小区间中任取一点,作和式,当,时，和,总趋于同一个确定的常数,则称函数,在该区间,上可积，极限,称为函数在该区间上的定积分。,记作：,定义阶段抓本质建立概念深化概念(7分钟),积分下限,积分上限,
8、归结阶段提炼概念阶段类比探究数学建模(7分钟),例题：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积,解：,1分割：将区间0,1分成n等份：,2近似代替：用小矩形代替小曲边梯形,4取极限：,3求和：,解题示范巩固理解概念阶段(5分钟),学生练习，教师点评,练习训练巩固阶段(8分钟),练习1 定义计算 。,练习2 将由曲线 及直线y=0,x=0,x=1围成的平面图形的面积用定积分表示。,求曲边梯形面积的“四步曲”：,课堂小结,总结梳理知识巩固重点(5分钟),课后任务,作业：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积,课后探究：梯形法，求曲边梯形的面积,研究性课
9、题：利用所学知识，计算我校塑胶操场的面积。,总结梳理知识巩固重点(5分钟),“一沙一世界，一花一天国掌上有无穷，瞬时即永恒” 勃莱克（英国） 在准备本节课时，我首先注意到了以下几个方面：一是如何激发学生的学习兴趣，使学生“想学、乐学、自主的去学”；二是从学生的角度来呈现数学思想的建构过程，与同学们共享成长 ；三是尽量采用符合同学们思维习惯的、易于接受的讲授方式；再就是，我非常关心学生在学习本课之后，将得到怎样的发展？为此，我从数学情感上进行了渗透，描绘了定积分的美！,在课堂上，我将始终重视“以直代曲”“逼近”思想的渗透，强调“分割、近似代替、求和、取极限”的步骤，让同学们认真演练“四步曲”，最后通过课后探究，探讨i的任意性对面积逼近过程的影响，实现思想的升华这种迂回包抄、螺旋上升的处理方式，正是建构主义的处理方式 我想通过这样的教学过程，让同学们在兴趣的带动下“想学”，在老师的帮助下“能学”，在数学思想的渗透和感化下“坚持学”，真正喜欢上数学，欣赏到数学的美,定积分的概念,曲边梯形的概念,课堂作图,（学生板演）,例题,求曲边梯形面积“四步曲”,定积分的概念,探究问题,（作业）,感谢大家的聆听！,
