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1、一元函数积分学,多元函数积分学,重 积 分,三、二重积分的性质,第七节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,二重积分的概念与性质,第六章,解法:类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的有界闭区域 D,顶:连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“分割,近似,求和,取极限”,1)分割,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)近似,在每个,3)求和,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)取极限,令,则,2.平面薄片的质量,有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量
2、 M.,度为,设D 的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“分割,近似,求和,取极限”,解决.,1)分割,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域.,2)近似,中任取一点,3)求和,4)取极限,则第 k 小块的质量,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“分割,近似,求和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I,使,可积,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界闭区域 D上的有界函数,引例1中曲顶柱体体积:,如果 在D上可积,也常,二重
3、积分记作,这时,分区域D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,（由此式可以解释二重积分的几何意义）,二重积分存在定理:,若函数,定理1.,在D上可积.,在有界闭区域 D上连续,则,引例2中平面薄板的质量:,三、二重积分的性质,(k 为常数),为D 的面积,则,特别,由于,则,5.若在D上,6.设,D 的面积为,则有,7.(二重积分的中值定理),证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在有界闭域D,为D 的面积,则至少存在一点,使,使,上连续，,因此,例1.比较下列积分的大小:,其中,解:积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位,从而,于直线的上方,故在 D 上,例2.判断积分,的正负号.,解:分积分域为,则,原式=,猜想结果为负 但不好估计.,舍去此项,例3.估计下列积分之值,解:D 的面积为,由于,积分性质5,即:1.96 I 2,
