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1、-1-,第一节 定积分在几何上的应用,微元法平面图形的面积立体的体积平面曲线的弧长,-2-,一 微元法,有关的量；,而,-3-,其中,于是,得,-4-,这个方法通常叫做微元法或元素法,-5-,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,-6-,二 平面图形的面积,1 直角坐标系平面图形的面积,S,S,-7-,2.,-8-,事实上,所以得面积的微元素,-9-,为,-10-,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,-11-,例2,求由曲线,所围的平面图形的,面积,解法I,解方程组,得两曲线的交点为,积分区间分别为,得,-12-,解法II,积分区间为,则,-13
2、-,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,-14-,例4,在曲线,上求一点P，使得,直线,所围成,该点的切线与曲线,的平面图形的面积最小。,解,则切线方程为,因此,设切点为,-15-,所求点为,-16-,3.如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,-17-,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,-18-,2 极坐标系下平面图形的面积,求其面积，,选积分变量,积分区间,它可以用半径为,的扇形近似代替,因此,-19-,同理,由连续曲线,及射线,所围的平面图形的面积为,-20-,解,利用对称性知,-21-,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,-22-,
3、例8 求由曲线,所围成的平,面图形(如图所示阴影部分)的面积.,解,因此,-23-,三 立体的体积,1 已知平行截面面积的立体的体积,求此立体体积.,为积分区间，,所以,-24-,求此立体体积.,为积分区间，,所以,-25-,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,-26-,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,-27-,2 旋转体体积,设空间物体是由连续曲线,求此物体的体积.,为积分区间,所以所求的物体体积为,-28-,同理,空间物体是由连续曲,线,此物体的体积为,-29-,解,0,2为积分区间,相应的截面面积为,因此,-30-,例12,求由曲线,及,在点,处的切线和,平面图形绕,立体的体积.,解,轴围成的,轴旋转一周所得,-31-,解,由对称性得旋转体的体积,的参数方程为,-32-,例14,求由连续曲线,直线,及,轴所围的曲边梯形,绕,轴旋转一周所得立,体体积.,解,所以,-33-,四 平面曲线弧长,-34-,1 直角坐标表示的平面曲线的弧长,设曲线弧为,小切线段的长为,弧长元素,弧长,-35-,解,所求弧长为,解,定义域为,-36-,2 参数方程所表示的平面曲线的弧长,设曲线弧的参数方程为,且,则,所以,-37-,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,-38-,3 极坐标方程表示的平面曲线的弧长,设曲线弧为,弧长,-39-,解,
