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1、第四章 指数函数与对数函数,4.1 整数指数幂,1整数指数幂的概念当n为正整数时，n个相同因数a的相乘，记作：an，称为正整数指数幂，读作“a的n次方”，也可读作“a的n次幂”，其中，a称为底数，n称为指数；当n=0时，a0 称为零指数幂；任何不等于0的数的0次幂都等于1；即a0=1形如a-n 称为负整数指数幂；a-n是an的倒数正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂合称为整数指数幂,4.1 整数指数幂,2整数指数幂运算法则 整数指数幂运算法则（，m，n为整数）：,练习：小试牛刀：比一比，看谁算的快,巩固知识 整数指数幂的概念 整数指数幂运算法则课后练习,4.1 整数指数幂,1次根式的定义 如果
2、x2=a（），则称x为a的平方根（二次方根），记作：x=a；如果x3=a，则称x为a的立方根（三次方根），记作：；如果xn=a（n是一个大于1的正整数），则称x为a的一个n方次根，记作：当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 当n为偶数时，对于每一个正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，分别用n a和-n a表示，可以合并写为“（a 0）”；,4.2 有理指数幂,而对于每一个负数a，它的偶次方根是没有意义的；零的n次方根是零，用n 0=0表示；我们把形如（有意义时）的式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数；性质 根据n次方根的意义，可得 当为奇数时 当为
3、偶数时,4.2 有理指数幂,【例1】求下列各式的值：1 2 3 4解,4.2 有理指数幂,2有理指数幂的定义正数的正分数指数幂的意义是：，m，且）正数的负分数指数幂：，m，且规定了分数指数幂的意义以后，指数从整数推广到了有理数，即分数指数幂是有理指数幂,4.2 有理指数幂,【例2】求下列各式的值：1 2 3解,4.2 有理指数幂,小试牛刀1,【例3】化简下列各式：1 2 3 4解,4.2 有理指数幂,小试牛刀2,巩固知识 根式和分数指数幂的概念 有理指数幂的定义 有理指数幂的运算 课后练习,4.2 有理指数幂,4.3幂函数,引入,引入,2观察函数,y x2，y x3，y x 及 y x1,这些
4、函数表达式的共同特征是什么？你还能举出类似的函数吗？,4.3 指数函数,数学是打开科学大门的钥匙,轻视数学必将造成对一切知识的损害，因为轻视数学的人不可能掌握其它学科和理解万物。弗培根,2=21,8=23,4=22,第二次,第三次,第 x 次,第一次,返回,球菌分裂过程,.,仔细观察两个关系式的底数和指数，请问有什么发现?,一般地，形如,的函数叫做指数函数，,函数的定义域是 R,定义,变式练习：请问同学们下面的式子是不是指数函数？,0.35,0.25,0.71,4,2,2.83,1,1.41,0.5,图象,图象,(0,1),指数函数 的图象和性质,1.定义域:,2.值 域:,3.过 点:,4.
5、单调性:,5.函数值的变化情况:,当 x 0时,0 y 1.,图象,R；,(0,+)；,(0,1)；,在 R 上是增函数；,当 x 0时,y 1.,性质,在R上是减函数,在R上是增函数,单调性,过定点,值 域,定义域,图象,R,(0,+),（0，1),应用,例1、比较下列各题中两个值的大小:,解:,可看作函数 的两个函数值,所以指数函数 在 上是减函数.,由于底数,应用,解:,可看作函数 在x=2.5和3时的两个函数值,由于底数,所以指数函数 在 上是增函数.,所以,因为,比较下列各组值中各个值的大小：,试一试：,小结：,1.先观察底数并明确底数a 与1的大小关系：,2.如果底数比1大，则指数
6、大者数值大；相反，如果底数比1小，则指数小者数值大。,求下列函数的定义域,（1）,解：（1）要使已知函数有意义，必须 有意义,即x0,所以函数 的定义域是,（2）,3.会比较简单的同底数指数的大小，以及会求简单指数函数的定义域。,2.研究函数的一般步骤:定义图象性质应用；,1.数学知识点:指数函数的概念、图象和性质；,4.3 指数函数,巩固知识,课后练习练习册36,4.4对数的概念,对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了奇妙的对数定律说明书，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的
7、建立并称为17世纪数学的三大成就。,1、指数式：ab=N，a是_,b是_,N是_,其中a,b,N什么范围？,2、a0=_,a1=_.,底数,指数,幂,1,a,折纸次数x层数N,折纸次数和层数的关系：,情境导航,如果如果已经知道一共有64层，你能计算折了多少次吗？,这个问题可以转化为：已知,求x.,1 2 3 4,2 4 8 16,1、在23=8中，8=_,2=_,3=?2、在52=25中，25=_,5=_,2=?3、在ab=N中，N=_,a=_,b=?,回答下面问题,引入对数。,计算：(1)求N.23=N.(2)求a.a2=25.(a0),23,52,ab,在ab=N中，b叫以a为底N的对数.
8、,3叫以2为底8的对数，,0叫以1/2为底1的对数，,-1叫以5为底1/5的对数，,b叫以a为底N的对数，记作b=logaN.,记作3=log28.,记作2=log39.,记作0=log1/21.,记作-1=log51/5.,定义：一般地，如果 的b次幂等于N,就是,那么数 b叫做 a为底 N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数。,比较指数式、根式、对数式的关系,此对应始终保持底数不变，转化的实质是b、N位置的变化.,ab=N,=a,logaN=b,底数,方根,底数,指数,根指数,对数,幂,被开方数,真数,乘方，由a，b求N,开方，由N，b求a,对数，由a，N求b,对数概念 小试牛刀,(
9、1)(2010年)若（），则有（）。A.B.C.D.(2)在对数式 中，实数 的取值范围是()。A.B.C.D.(3)当底数是81时，27的对数等于（）。A.B.C.D.,折纸次数x层数N,折纸次数和层数的关系：,如果如果已经知道一共有64层，你能计算折了多少次吗？,这个问题可以转化为：已知,求x.,1 2 3 4,2 4 8 16,1常用对数：以10作底 记作,2自然对数：以 e作底 e为无理数，e=2.71828 记作,子任务3：认识常用对数和自然对数,试试：分别说说lg5、lg3.5、ln10、ln3的意义.,指数式与对数式的互化,把下列指数式改写成对数式,对数式改写成指数式,（2）,（
10、1）,变式练习：把下列指数式改写成对数式,对数式改写成指数式,求下列式子中 的值：,（2）,（1）,变式练习：求下列式子中 的值：,小练习：求下列对数值,第一组：,猜想loga1=0,证明：,，即1的对数为0.,第二组：,猜想logaa=1,证明：,，即底数的对数为1.,第三组：,猜想,证明：,口答下列式子的值：,对数的基本性质,1.负数和零没有对数；,2.“1”的对数等于零,即loga1=0,3.底数的对数等于“1”,即logaa=1,4.,对数恒等式：,对数性质的应用,（1）求x的值：,（2）化简求值：,2、对数的性质：,3、常用对数 和自然对数,4、体会“归纳猜想证明”的研究方法。,(1
11、).负数和零没有对数；,(2).“1”的对数等于零,即loga1=0,(3).底数的对数等于“1”,即logaa=1,(4)对数恒等式：,巩固知识,课后练习 练习册38,4.5对数的运算,数学来自生活，又应用于生活和生产实践而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法如刚刚学过的指数、对数函数内容在实际生活中就有着广泛的应用今天我们就一起来探讨几个应用问题,例 12008 年我国人口总数是 13.28 亿，如果人口的自然年增长率控制在 5%，问哪一年我国人口总数将超过 15 亿？,解 设 x 年后人口总数为 15 亿，由题意，得,13.28(1 0.05)x 15,两边取对数，得 x l
12、g 1.005 lg 15 lg 13.28，,所以 x 24.4,所以 25 年后，即 2003 年我国人口总数将达到 15 亿,主要步骤：（1）阅读理解；（2）建立目标函数；（3）按要求解决数学问题,所以 y 与 x 的函数关系是y101 e1.153104 x,解 已知 y C e k x，其中 C，k 是待定的常数 由已知条件，当 x 0 时，y 101；当 x 1 000 时，y 90，,即 1 000 kln 0.891 1；1 000 k0.115 3；所以 k1.153104,因此，在高 600 m 处，大气压强为 94.3 kPa；在高 440 m 处，大气压强为 96 kP
13、a,当 x 600 时，得 y 101 e1.153104600 94；,当 y 96 时，得96 101 e1.153104 x，,1.153104 x 0.051，,已知某细菌的生长过程满足函数关系式Q(t)Q0 e k t，其中 t 为时间单位为分钟，Q 为细菌的数量如果一开始的细菌数量为 1 000 只，而在 20 分钟后变为 3 000 只，求一小时后细菌的数量,解决实际问题的步骤：,实际问题（读懂问题、抽象概括）建立数学模型（演算、推理）数学模型的解（还原说明）实际问题的解,巩固知识对数的运算法则：常用对数和自然对数换底公式 或 课后练习 练习册34,4.6对数的 法则运算,一般地,函数 y=loga x(a0,且a 1)叫做对数函数.其中 x是自变量,函数的定义域是（0,+）.,对数函数的定义：,注意:1)对数函数定义的严格形式;,2)对数函数对底数的限制条件：,，且,在同一坐标系中用描点法画出对数函数 的图象。,步骤：列表 描点 连线,对数函数:y=loga x(a0,且a 1)图象与性质,描点,连线,列表,作y=log2x图象,y=loga x(a0,且a 1)图像,y=loga x(a0,且a 1)图像,这两个函数的图象有什么关系呢？,关于X轴对称,2 1 0-1-2,-2-1 0 1 2,作业,发的资料,
