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1、数列(复习课),数列,通项an,等差数列,前n项和Sn,等比数列,定义,通 项,前n项和,性 质,知识结构,一、知识回顾,仍成等差,仍成等比,等 差 数 列,等 比 数 列,定 义,通 项,通项推广,中 项,性 质,求和公式,关系式,适用所有数列,牛刀小试,在等差数列an中，a2=-2,a5=54，求a8=_.在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为_.在等差数列an中，a15=10,a45=90,则 a60=_.在等差数列an中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_.,110,运用性质：an=am+(n-m)d或等差中项,运用性质：若n+
2、m=p+q则am+an=ap+aq,运用性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广),运用性质：若an是公差为d的等差数列 cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。,180,130,210,在等比数列an中，a2=-2,a5=54，a8=.在等比数列an中，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_.在等比数列an中，a15=10,a45=90,则 a60=_.在等比数列an中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_.,-1458,6,270,480,或-270,牛刀小试,、等差、等比数列的设法及应用,1.三个
3、数成等差数列可设为,或者，,2.三个数成等比数列，则这三个数可设为，也可以设为,例1(1).已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.,析：设这三个数为,则,所求三个数分别为3，5，7,解得x5，d,或7，5，3.,2.,二、知识应用,根据具体问题的不同特点而选择不同设法。,例1(2)：互不相等的三个数之积为，这三个数适当排列后可成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列.,设这三个数为，则,即：,即：,与已知三数不等矛盾,即：,三个数为,或,即：,三个数为,或,综上：这三数排成的等差数列为:,、运用等差、等比数列的性质,例2（1）已知等差数列 满足，则(),（3
4、）已知在等差数列an的前n项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.,析：,C,（2）已知等差数列 前 项和为30，前 项和为100，则前 项和为(),C,考题剖析,已知an为等差数列，a2+a8=12，,则a5等于（）(A)4(B)5(C)6(D)7,解：由已知，由等差数列的性质，有a2+a8=2a5，所以，a56，选（C）。,点评本题直接利用等差数列的性质，由等差中项可得，属容易题。,例3.等差数列an中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小?,分析:,如果等差数列an由负数递增到正数，或者由正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质：,当a1
5、0,d0时,当a10,d0时,思路1：寻求通项,n取10或11时Sn取最小值,即：,易知,由于,、等差数列的最值问题,例.等差数列an中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小?,分析:,等差数列an的通项an是关于n的一次式,前项和Sn是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.,思路2：从函数的角度来分析数列问题.,设等差数列an的公差为d,则由题意得:,a10,d0,Sn有最小值.,又nN*,n=10或n=11时,Sn取最小值,即：,例3.等差数列an中,a10,S9=S12,该数列前多少项和最小?,分析:数列的图象是一群孤
6、立的点,数列前 n项和Sn 的图象也是一群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n.,因为S9=S12,又S1=a10,所以Sn 的图象所在的抛物线的对称轴为直线n=(9+12)2=10.5,所以Sn有最小值,数列an的前10项或前11项和最小,n,Sn,o,n=,10.5,类比:二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数f(x)图象的对称轴为,直线x=(9+12)2=10.5,若f(x+2)=f(2-x),则函数f(x)图象的对称轴为,直线x=2,思路3：函数图像、数形结合,令,故开口向上,过原点抛物线,设等差
7、数列 an 的公差为d,等比数列 bn 的公比为，则由题意得,解析：,通项特征：,由等差数列通项与等比数列通项相乘而得,求和方法：,错位相减法错项法,、等差、等比数列的综合应用,解析：,两式相减：,错位相减法,常见的求和公式,专题一：一般数列求和法,倒序相加法求和，如an=3n+1错项相减法求和，如an=(2n-1)2n分组法求和，如an=2n+3n 裂项相加法求和，如an=1/n(n+1)公式法求和，如an=2n2-5n,专题一：一般数列求和法,一、倒序相加法,解：,例1:,二、错位相减法,解：,“错位相减法”求和,常应用于形如anbn的数列求和,其中an为等差数列,bn 为等比数列,bn
8、的公比为q，则可借助 转化为等比数列的求和问题。,三、分组求和,把数列的每一项分成几项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成几部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.,练习：求和,解：,四、裂项相消求和法,常用列项技巧：,把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.,累加法，如累乘法，如构造新数列：如取倒数：如Sn和an的关系：,专题二：通项的求法,数列的前n项和Snn2n+1，则通项an=_,-得：,1、数列1，7，13，19的一个通项公式为()
9、A、an=2n1 B、an=6n+5C、an=(1)n6n5 D、an=(1)n(6n5),D,2.数列an的前n项和Sn=n2+1，则an=_.,3、写出下列数列的一个通项公式,(1)、,(2)、,解：(1)、注意分母是，分子比分母少1，故(2)、由奇数项特征及偶数项特征得,返回,4、在各项均为正数的等比数列an中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+log3a10等于（）,（A）12（B）10（C）8（D）2+log35,B,5、等差数列an的各项都是小于零的数，且，则它的前10项和S10等于（）,（A）-9（B）-11（C）-13（D）-15,D,6、在公比q1的等比数列an中
10、，若a1+a4=18,a2+a3=12，则这个数列的前8项之和S8等于（）,（A）513（B）512（C）510（D）,C,7、在数列an中，an+1=Can（C为非零常数）且前n项和Sn=3n+k则k等于（）,（A）-1（B）1（C）0（D）2,A,8、等差数列an中，若Sm=Sn(mn)，则Sm+n的值为（）,D,9、等差数列an是递减数列，a2a3a4=48，a2+a3+a4=12，则数列an的通项公式（）,（A）an=2n-2（B）an=2n+2（C）an=-2n+12（D）an=-2n+10,D,10、在等差数列an中，a1+3a8+a15=120，则2a9-a10的值为（）,（A）24（B）22（C）2（D）-8,A,考点练习,1、在等比数列an中，a3 a4a5=3，a6a7a8=24，则a9a10a11的值等于_,192,考点练习,2、a=，b=，a、b的等差中项为()A、B、C、D、,A,3、设an为等差数列，Sn为前n项和，a4=，S8=4，求an与Sn,点评：在等差数列中，由a1、d、n、an、sn知三求二,考点练习,4、数列an满足a1=，a1+a2+a3+an=n2an，求通项an,解析：a1+a2+a3+an=n2ana1+a2+an-1=(n-1)2 an-1(n2)相减 an=n2an-(n-1)2an-1,考点练习,
