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1、期末考试复习重点,（1）直线与平面的位置关系,空间曲线的切线，空间曲面的切平面,（2）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值,（3）二重积分的计算（直角坐标与极坐标）,（4）第一、二类曲线积分，积分与路径无关第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。,（5）数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛幂级数的收敛域、求级数求和函数。,（一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，空间曲面的切平面,（1）设,则,（2）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线,要点：I：曲面在某点处的切平面,（1）设曲面方程为,第一步：计算,第二步：计算曲面
2、的法向量,第三步：分别写出切平面和法线的方程,（2）设曲面方程为,第一步：取,第二步：计算曲面的法向量,第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方程,要点II：空间曲线的切线与法平面,（1）设空间曲线 的方程,第一步：确定点,第二步：计算,第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法平面的方程,（2）设空间曲线 的方程,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,3、典型例题,例2：设直线 L 和平面 的方程分别为,则必有（）,解：,C,例3：求曲面,上同时垂直于平面,与平面,解：取,的切平面方程。,设切点为,（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高
3、阶），隐函数的求导和全微分、条件极值,（1）多元函数在某点的定义域、极限和连续,要点：I：求二元函数在某点的极限,1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则,2、利用有界函数与无穷小乘积的性质,3、利用变量对换化为一元函数极限,4、利用夹逼准则与两个重要极限,例：求下列函数的极限：,解：,求极限,解：,求极限,（1）多元函数的定义域、极限、连续,要点：I：求二元函数在某点的极限,（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、条件极值,（1）多元函数的定义域、在某点的极限、连续,要点：II：用定义求二元函数在某点的偏导数,（二）多元函数的定义域、
4、极限和连续；方向导数，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、条件极值,典型例题,例1：设,求,解：,典型例题,例2：设,求,解：,典型例题,例3：设,求,解：,二元函数的连续性,要点：III：多元函数的连续性,(2)讨论函数,在(0,0)的连续性,例：讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导、多元函数的微分,要点：I、方向导数II：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；,III：隐函数的偏导数的计算；,例1：设,答案：,IV：多元函数全微分的计算；,例:(1)函数 在点 处沿哪个方
5、向,的方向导数最大？并求方向导数的最大值.,例1：设,例3：设,求,例3：设,求,解：,z,x,y,u,x,y,u,例4：设,答案：,要点：I、方向导数II：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；,III：隐函数的偏导数的计算；,IV：多元函数全微分的计算；,（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数的求导、多元函数的微分,例3：设,是由方程,解：两边取全微分,所确定的二元函数，求,整理并解得,例3：设,是由方程,解：两边取全微分,所确定的二元函数，求,整理并解得,拉格朗日乘数法：,（1）构造拉格朗日函数：,（2）联解方程组，求出问题 1 的所有可能的极值点。,问题 1：求函数 z=f(x,y)在
6、约束条件(x,y)=0 下的极值（称为条件极值问题）。,（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。,（3）条件极值。,例1：在椭球面,上，求距离平面,的最近点和最远点。,解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点,则该点到平面的距离为,问题1：在约束条件,下，求距离 d 的最大最小值。,由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题 1 转化为下面的等价问题,问题2：在条件,下，求函数,的最大最小值。,（1）作拉格朗日函数,（2）联解方程组,（1）作拉格朗日函数,（2）联解方程组,求得两个驻点：,对应的距离为,（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和
7、最远距离均存在。所以,最近距离为,最远距离为,三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）,重点内容,（1）二重积分在直角坐标下的计算；,答案：,例1：计算二重积分,答案：,三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）,重点内容,（2）二重积分中二次积分的交换次序；,答案:,例2：试证：,解,积分区域分为两块,例2：试证：,证明：画出积分区域 D,由图可知 D 又可以写成X 型区域,（3）利用极坐标计算二重积分；,再根据 D 的极坐标表示，将极坐标下的二重积分化为累次积分。,例3:计算,由直线 y=x 及曲线,所围平面区域。,（4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；,在二重积分的计算过程中，要注意
8、对称性。,例5：计算,其中 D 由直线 y=x,y=1,及x=1 所围平面区域,解,（5）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；,例6：,提示：,再对,用“先二后一”的方法计算，,并用对称性给出另外两项的结果。,例7：,提示：利用对称性、被积函数奇偶性及“先二后一”法,（6）利用柱面坐标计算三重积分,例8：,绕 z 轴旋转一周而成曲面与平面 z=8 所围空间立体,四、第一、二类曲线积分，积分与路径无关、第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。,（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；,（2）基本公式,格林公式,高斯公式,主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分,主要作用：将曲面积分
9、转化为三重积分,（3）基本应用：,格林公式和高斯公式的两类典型应用题：,2.平面曲线积分,“封口法”和“挖洞法”。,与路径无关,在单连通区域 G 内,（4）基本计算技巧,1.利用对称性；,2.利用曲线或曲面方程化简被积函数；,3.利用关系式,将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；,4.利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简化平面曲线积分。,例1：设椭球面,的表面积为a，则,20a,提示：利用曲面方程及对称性,例2：设,则,提示：利用曲线方程及对称性,0,例3：,提示：利用高斯公式及椭球体的体积。,例4：设 f(x)在(0,+)上有连续的导数，L 是由点,提示：利用积分与路径无关，并取新
10、路径：,A(1,2)到点 B(2,8)的直线段，计算,（30）,例5：计算,由抛物面,与圆柱面,及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。,提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标,例6：计算,再由坐标原点沿 x 轴到 B(2,0)。,解：,其中，L 为由点 A(1,1)沿曲线,到坐标原点，,分析：应用格林公式,补充：,五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、幂级数的收敛域，幂级数求和函数。,（1）数项级数收敛性判别,1.正项级数,比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛的必要条件,几何级数、P 级数和调和级数,2.交错级数：,莱布尼茨定理,3.任意项级数：,绝对收敛和条件收敛。,任意项级数,收敛
11、性判断的一般步骤：,（1）检验,（3）用正项级数审敛法检验,是否收敛？,则原级数绝对收敛，从而收敛，,（4）若,发散，,但是用比值或根值法判断的,则原级数也发散。,是否成立？,若否，则原级数发散,若是或,难求，则进行下一步；,若是，,否则，进行下一步；,（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数 或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步,（5）用性质或其它方法。,（2）幂级数的收敛半径和收敛域,求幂级数,（1）利用极限,（2）判定幂级数在端点,确定收敛半径 R 及收敛区间,处的收敛性，,收敛域的一般步骤：,（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。,说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。
12、,（2）对幂级数,要先做变换,（3）求幂级数的和函数,求幂级数,（1）利用极限,（2）判定幂级数在端点,确定收敛半径 R 及收敛区间,处的收敛性，,收敛域的一般步骤：,（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。,说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。,（2）对幂级数,要先做变换,性质3：幂级数,逐项积分后所得级数,的和函数 s(x)在收敛域 I,上可积，,并有逐项积分公式,其收敛半径与原级数相同。,（3）求幂级数的和函数,性质4：幂级数,逐项求导后所得级数,的和函数 s(x)在收敛区间,内可导，,并有逐项求导公式,其收敛半径与原级数相同。,说明：求和函数一定要先求收敛域。,典型例题,例1：若幂级数,在 x=-2 处收敛，,则此幂级数在 x=5 处（）,（A）一定发散。（B）一定条件收敛。（C）一定绝对收敛。（D）收敛性不能确定。,C,例2：若幂级数,的收敛半径是16，,则幂级数,的收敛半径是（）,4,例3：已知,的收敛半径为 3，则,的收敛区间为（）,例4：级数,当（）,（A）p 1 时条件收敛，,（B）0 p 1 时绝对收敛，,（C）0 p 1 时条件收敛，,（D）0 p 1 时发散。,C,例5：求下列幂级数的和函数,答案：,答案：,例5：求下列幂级数的和函数,容易求得,答案：,
