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1、第七章 无穷级数习题课(一),常数项级数,一、定义及性质,2敛散性定义,3性质,必要性:,线性运算性质:,则级数收敛，否则级数发散。,设级数 为常数,则,设，如果 存在，,级数 收敛,1常数项级数,4常数项级数类型,正项级数,交错级数,任意项级数,常数项级数,二、判别常数项级数收敛的解题方法,若成立，则需作进一步的判别。,成立。若不成立，则可判定级数发散；,此时可将常数项级数分为两大类，即正项级数与任意项级数。,对于正项级数，可优先考虑应用比值法或根值法。若此二方法失效，则可利用比较法（或定义）作进一步判别；,若不收敛，但级数是交错级数，可考虑应用莱布尼兹判别法，若能判别级数收敛，则原级数条件
2、收敛；,对于一般的任意项级数，则可考虑利用利用级数收敛定义、性质等判别。解题方法流程图如下图所示。,对于任意项级数，一般应先考虑正项级数 是否收敛。若收敛，则可判定原级数收敛，且为绝对收敛；,解题方法流程图,Yes,判断 的敛散性,比值法,根值法,比较法,找正项收敛级数,找正项发散级数,用其它方法证明,No,No,No,Yes,为正项级数,为任意项级数,绝对收敛,三、典型例题,，由定义,所以原级数收敛，且和为1。,【例1】判别级数 的收敛性，并求级数的和。,分析：此级数为正项级数，由于,因此可利用定义求。,解：由于,由级数收敛的必要条件，原级数发散。,【例2】判别级数 的收敛性。,分析：此级数
3、为正项级数，因为 分别求分,子、分母的极限不为0，由级数收敛的必要条件，原级数发散。,解：因为,而,故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。,【例3】判别级数 的收敛性。,解法1：此级数为正项级数，,而级数 为等比级数收敛，,解法2：由比值审敛法,故由比值审敛法知原级数收敛。,由于,故转到应用比较判别法。由于,【例4】判别级数 的收敛性。,分析：此级数为正项级数，设,而级数 收敛，从而级数 收敛；,或将 拆成两个级数，分别判定级数的收敛性。,同理 极限也不存在，即不能应用比值和根值判别法，,由于,解法1：设,而由比值法,易知级数 收敛,故由级数的比较判别法知，级数 收敛。,解法2：因为,所以，分
4、别考虑 和 的敛散性。,对于,由比值法,知 收敛，所以，绝对收敛；,同理得 收敛，可知原级数收敛。,收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。,【例5】判别级数 的收敛性。,分析：此级数为正项级数,由 的形式，利用比值,法和根值法均不合适，由于,可采用比较法。,解：此级数为正项级数，,令,注：应用比较法判断一个正项级数 的敛散性，最关键,问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性（如几何级数，,级数等），然后根据 的特点，进行有针对性的放缩。,【例6】判别级数 的收敛性。,分析：此级数为正项级数，由于 中含有,，可用比值审敛法。,解：令,所以，原级数发散。,由比值审敛法，当 时，原级数收敛；,当 时，原级
5、数发散。,当 时，比值审敛法失效，注意到,注：在级数一般项 中，若含有形如 的因子时，,适于使用比值审敛法。,故由根值审敛法，原级数收敛。,【例7】判断级数 的敛散性.,分析：此级数为正项级数,由于 中,解：此级数为正项级数，,注：在级数一般项 中,若含有 次方时,适于使用根值 审敛法。,含有 次方，可用根值审敛法。,【例8】判断级数 收敛？如果收敛，是条件收敛 还是绝对收敛？,分析：本题中，为交错级数，可采用莱布尼兹定理判别法。,解：此级数为交错级数，因为,而 发散,原级数非绝对收敛.,因为 为交错级数,由莱布尼玆定理,由比较审敛法知 发散,所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛。,所以 在
6、 上单增，即 单减，,故当 时，单减，,令,即原级数非绝对收敛。,【例9】*判别级数 的敛散性。,解：先考虑级数 的敛散性。,由于当 时，,而级数 发散，故级数 发散，,即原级数为交错级数，故应用莱布尼兹判别法判别。,从而原级数条件收敛。,注：在运用莱布尼玆定理判别 时，可引入函数，利用函数的导数，判别单调性。,因为,其中,所以 在 内单调递减，得,于是由莱布尼兹判别法可得级数 收敛，,令,证明：设级数 和 的部分和分别为 和,则,没有具体表达式，只能将 看成任意项级数,所以，考虑级数收敛定义。,分析：因为题设给出了级数 收敛,但,即,由于级数 收敛,所以 存在,所以要,根据级数收敛的定义知 收敛.,证明 存在，只需要证明 存在即可.根据题中,的条件，所以，因此,
