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1、,1、一般来说,相等是一种偶然,A可逆时，可推出,3、n阶方阵A可逆的充要条件,n阶方阵A可逆,2、重要等式：设A是n阶方阵,则,一、矩阵及其运算；方阵A可逆的条件,设A、B都是n阶可逆矩阵，t是非零数，则,3、可逆矩阵的性质,4、求方阵A的逆矩阵的方法,*,1）的关键：,寻找B，使AB=E,2）的关键：,二、可逆矩阵的性质、求逆矩阵的方法,1、秩（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。,2、秩的基本关系式：,3、关于秩的重要结论：,可能比小的还小,常用此求参数,三、矩阵的秩,3、关于秩的重要结论：,4、秩的求法：,1）初等变换法：,秩（A）=T的阶梯数,2）若P可逆，则,常需先验证P可逆,矩阵
2、的秩（续）,1、定义（项数、乘积项、符号）,2、结论：上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积,3、性质,4、特殊关系式,四、n阶方阵的行列式,4、特殊关系式,5、展开定理,n阶方阵的行列式（续）,初等矩阵等,1、阶梯形矩阵,2、行最简型矩阵,3、矩阵A的标准型,4、初等矩阵,1）初等矩阵的定义；2）初等矩阵都可逆；3）初等矩阵与初等变换的关系,例题1-行列式1,例1 计算下列行列式,解,r4-100r2,r2-2r1,r4-r1,r3-0.5r2,r4-0.5r2,例题1-行列式2,例1 计算下列行列式,2）设行列式,解,例题1-行列式3,例1 计算下列行列式,解,例题1-行列式4、5,例1
3、 计算下列行列式,例题1-行列式5、5,例1 计算下列行列式,解,例题1-行列式6-P76,例1（6）,例题2-(矩阵1),例2 1）设A、B都是n阶方阵，并且AB=0，则,例题2-(矩阵2),例2 2）设A、B都是n阶方阵，则,e,例题2-(矩阵3),解,例题3-(逆阵1),例题3,解 1）,例题3-(逆阵2),例题3,解 2）,例题3-(逆阵3),例题3(3)设方阵A满足2A2-5A-8E=0，证明A-2E可逆，并,解法1,关键：寻求方阵B，使（A-2E）B=E,分析,解法2,令C=A-2E，则得A=C+2E，代入得,得C*B=E，则C-1=B,例题4-矩阵方程,例题4,设矩阵X满足：AX
4、B=XB+C，求X，其中,由已知，得AXB-XB=C，,则得,显然A-E、B均可逆，并且,对式（1）左乘（A-E）-1，右乘B-1，得,1、左右次序2、左右乘逆,解,例题5-矩阵的秩,r(A)=2,初等变换,线性方程组的解法与解的结构,线性方程组,解的存在性定理,各种解法,解的结构,方程组-1-存在性,线性方程组,解的存在性定理,各种解法,解的结构,定理1 设有非齐次线性方程组（1）,定理2 设有齐次线性方程组（2）,设r(A)=r,则,定理1 设有齐次线性方程组（2）,方程组-2-通解、基础解系,定理2 设有非齐次线性方程组（1）,方程组-3-解的结构,（2）,（1）,性质1,性质2,方程组
5、-4-例题1,例1 求 如下线性方程组的通解,解 对增广矩阵A进行初等行变换,与T相对应的同解方程组为：,移项并“配齐”得：,则通解为,方程组-4-例题2,例2 讨论a、b满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、有无穷 多解？有无穷多解时，求其通解。,解 对增广矩阵A进行初等行变换,例题2（续）,则通解为,则得一同解方程组为,方程组-4-例题3,例3 讨论a满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、有无穷 多解？有无穷多解时，求其通解。,解,系数行列式,所以1):,2):,例题3（续）,由于同解方程组中出现了矛盾方程:0=3,故无解.,3):,则通解为,方程组-4-例题4-判别,例4,(1)
6、对齐次线性方程组AX=0来说,以下哪个结论正确?,(2)对非齐次线性方程组AX=来说,以下哪个结论正确?,2),5),例题4（续）,例4,(4)齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是,3),4),4),(3),方程组-5-两个结论,此时A可逆,此时A的n-1阶子式全为0,A*=0,方程组-例题6-证明1,例题1,解,1）是；,2）,方程组-例题6（续）,3）,由（2）即得条件,方程组-例题6-证明2,例6（2）,证明 1）,用A左乘（1），得,将=0代入（1），得,3、关于秩的重要结论：,4、秩的求法：,1）初等变换法：,秩（A）=T的阶梯数,2）若P可逆，则,常需先验证P可逆,矩阵的
7、秩（续）,向量1-定义1、2、3,定义1,关键：存在某组k1,k2,km 使（1）成立，是否非零无要求,定义2,关键：存在某组不全为零的 使（2）成立。,推论：,向量1-定义3、4、5,定义3,定义4 向量组的表示、等价,定义5 内积，正交（向量组），单位化；Schmidt正交化,向量2-定理1、2、3、4,定理1,定理2,关键：至少有一个，但不能保证是哪一个。,定理3 秩（A）=A的列向量组的秩=A行向量组的秩,定理4 矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系。,注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法；讨论线性相关性、求秩也可用此方法。,向量2-定理5、6,定理5,定理6,证明,证明,
8、数字型,数字型,向量3-性质1、2、3、4,性质1,性质2,性质3,性质4 等价的向量组的秩相等；,等价的线性无关组所含的向量个数相等。,向量4-例题1,例题1 判别,向量4-例题2,例题2 选择,DF,BC,向量4-例题3,例题3 设,解,向量4-例题3(续),B的极大无关组为：,其余向量由此极大无关组表示为：,因为矩阵的初等行变换不改变列向量组的线性关系，所以,其余向量由此极大无关组表示为：,向量4-例题4,例题4,解 1）,因为行列式,所以当b=3或b=1时，D=0，线性相关；否则线性无关。,向量4-例题4（续）,例题4,解 2）,因为,向量5-例题5-证明,例题5,证明,向量5-例题6
9、-证明,例题6,分析：只要证明：B的列秩=m;,只要证明：rank(B)=m;,证明,向量1-定义1、2、3,1-特征值、特征向量-求法,1、特征值的求法,2、特征向量的求法,例1-特征值、特征向量的求法,例1 求矩阵A、B的特征值与特征向量,解 1）,例1（续1）,例1（续2）,2-特征值、相似矩阵-的性质,性质1,性质2,常用（3）、（4）求参数,3-特征值、相似矩阵-的性质,性质2,例2、3-特征值、相似矩阵,例2,例3 设A是一个方阵,-1,0,0,例4-相似矩阵,例4 设矩阵A、B相似，求参数a,b,c.,解 1）因为矩阵A、B相似，所以,2）因为矩阵A、B相似，所以1也是A的特征值
10、，所以,并且1是B的一个特征值,例5-相似矩阵,例5 设3阶矩阵A、B相似，A-1的特征值分别为1,2,3,求(1)A的特征值;(2),解(1)因为A-1的特征值分别为1,2,3,所以A的特征值分别为,(2)因为A、B相似,所以A,B的特征值相同,所以B的特征 值分别为,所以6B-E的特征值为,3-特征向量的性质,1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。即,2）实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量必相互 正交。即,3）正交向量组必是线性无关组。,4-n阶方阵A可对角化的条件、方法,1、一个充分必要条件：,n阶方阵A可对角化,A有n个线性无关的特征向量,2、两个充分条件：,1）如果
11、A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化,2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。,3、对角化方法：,4、正交对角化 重 点,5-例6-对角化,例6 分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q，将矩阵A对角化。,解 1）,例6（续）对角化-,4）将每个基础解系Schmidt正交化、再单位化,例7-对角化,例7 分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q，将矩阵B对角化,例7（续）-对角化,4）将每个基础解系Schmidt正交化、再单位化,由于是单根，所以已经正交化，故只需单位化，令,6-例8（1）-几个证明1,例6(1)设AB,证明:A2B2;tA-EtB-E,t是实数(2),证明(1)因为AB,所以存在可逆矩
12、阵P,使,所以:A2B2;tA-EtB-E,(3),例8（2）-几个证明2,例6(2),证明(2)由已知,得,(1),(2),用A左乘(1),得,(3),(3)-(2),得,例8（3）-几个证明3,例6(3),证明 反证法:,(1),因为,所以,(2),由(1),(2)得,所以,二次型化标准型-1-基本定义、基本内容,1、二次型二次齐次多项式；标准型仅含有平方项的二次型2、二次型的矩阵前提：实对称矩阵；注意元素特点 二次型的矩阵表示 标准型的矩阵对角阵,二次型的矩阵表示为,二次型化标准型-1-基本定义、基本内容,3、正定二次型 正定矩阵4、二次型的标准型5、惯性定理,二次型及其标准型-2-最重
13、要内容,1、用正交变换将二次型化为标准型；2、关于正定二次型的判别与讨论,本次考试要求：1、用正交变换X=QY将二次型f（X）=XTAX化为标准型；2、关于正定二次型的最简单判别。,注1：对线性变换X=PY来说，当P可逆矩阵时，称之为可逆变换；当P是正交矩阵时，称之为正交变换,二次型-3-例1,例1,求正交变换X=QY，将二次型 化为标准型,解 二次型的矩阵为,-例1（续）,作正交变换X=QY，则,二次型-3-例2,例2,求正交变换X=QY，将二次型 化为标准型,解 二次型的矩阵为,-例2（续1）,3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：,-例2（续2）,作正交变换X=QY，则,问题：f 是正定二次型吗？,因为：f 的矩阵A的特征值为：5，5，-4,二次型-3-例3,例3 问t 满足什么条件时，二次型 是正定二次型？,解 二次型的矩阵为,A的顺序主子式为：,所以当 A的顺序主子式全大于0，此时f正定,
