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1、,第四节,基本积分法:直接积分法;,换元积分法;,分部积分法,初等函数,初等函数,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,三、积分表的使用,一、有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式+真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,（1）分母中若有因式，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,特殊地：,分解后为,例.将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,(2)用赋值法,故,待定系数法,(3)混合法,原式=,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,例1.求,解:,
2、例2.求,则有,分别令,可求得,解之得,所以,例3.,求,则,分别令,得,解之得,例.求,解:原式,思考:如何求,例.求,解:,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例.求,解:原式,例.求,解:原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a,b,c,d.得,第二步 化为部分分式.即令,比较系数定 A,B,C,D.,第三步 分项积分.,此解法较繁!,1.简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,二、可化为有理函数的积分举例,例3.
3、求,解：设,即,则,例4.求,解:令,则,原式,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t 的有理函数的积分,2.三角函数有理式的积分,则,万能变换:,可将任意三角函数有理式不定积分,转化为有理函数的积分.,令,则,例.求,解:令,则,例.求,解:,说明:通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分,已把常用积分公式汇集成表,以备查用.,积分表的结构:按被积函数类型排列,积分表的使用:,1)注意公式的条件,2)注意简单变形的技巧,注:很多不定积分也可通过 Mathematica,Matlab,等数学软件的符号演算功能求得.,的效率,三、积分表的使用,例.求,解法1,令,则,原式,例.求,解法2 令,则,原式,解：,这是含三角函数的积分.,在积分表中查得公式,这里n=4,于是,例.求,解:,内容小结,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,简便,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解:1.,2.原式,
