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1、第三节,分部积分法,第四章,不定积分的基本积分方法,与有理函数的积分,由两个函数乘积的求导法则,积分得:,分部积分公式,容易计算.,1)容易求得;,一、分部积分法,例1 求积分,解（一）,令,显然，选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,例2 求积分,解,令,一般地,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为 后者为,例3 求积分,解,（再次使用分部积分法）,例4 求积分,解,注意循环形式,说明:也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,例6 求积分,解,例7 求积分,解,令,例8 求,解:令,则,原式=,例9 求,解:令,则,原式=,例10 求,解:令,则,得递推公式
2、,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,例11 已知,的一个原函数是,求,解:,说明:此题若先求出,再求积分反而复杂.,二、有理函数的积分,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,1.有理函数的积分,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,假分式,多项式除法,多项式+真分式,例,分解,若干部分分式之和,则可设,特殊地：,分解后为,特殊地：,分解后为,求真分式化为部分分式之和的待定系数,（1）对应系数相等法,例,(2)赋值法,代入特殊值来确定系数,整理得,取,取,取,并将
3、 值代入,例12 求积分,解,例13 求积分,解,将有理函数化为部分分式之和后，只涉及以下五类求不定积分情况：,讨论积分,令,则,这五类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,例14 求积分,例15 求,解:,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,2.可化为有理函数的积分举例,(1)三角函数有理式的积分,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,令,万能代换,t 的有理函数的积分,（万能公式）,令,则,例16 求,解:令,则,例17 求,解,令,原式,说明:通常求含,的积分时,往往更方便.,
4、的有理式,用代换,例18 求,解:,例19 求积分,解,(2)简单无理函数的积分,讨论类型,解决方法,作根式代换去掉根号化为有理函数的积分.,令,令,令,例20 求,解:令,则,原式,例21 求积分,解 令,原式,例22 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.,作 业 P2793(1)(2)(3)(11)(16)(17)5(2)(4)(5)(8)(10)(18)(21),合理选择，正确使用分部积分公式,三、小结,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为 后者为,反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数,思考题,在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？,思考题解答,注意前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,
