不定积分分部积分法教案.doc

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1、第三节 分部积分法教学内容:分部积分法教学目的:理解分部积分法的思想方法,能针对不同类型函数之积的被积函数,正确选取,熟练掌握分部积分法的步骤。教学重点:分部积分法及其应用教学难点:在分部积分法中,恰当选取。教学学时:1学时教学进程:我们知道,求不定积分是求微分的逆运算导数公式不定积分公式;复合函数的求导公式换元积分公式;乘积求导公式分部积分公式(不同类型函数乘积的积分)。1引入用我们已经掌握的方法求不定积分分析:被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。 凑微法失效。 第二类换元积分法解:不妨设 原方程更为复杂 所以凑微法和第二换元积分法都失效。反之考虑,两函数乘积的积分不会,但两函数乘积的

2、求导我们会,比如:(假设为两个具有连续导数的函数)已知: 对上式两边积分得:移项得: 观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式,注意:中为导数形式。故,我们可以尝试来解一下上面的积分。 通过上面的方法,我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。2 公式 设函数和都具有连续的导数,则有分部积分公式:(或)3 例题讲解例1计算不定积分解 设 ,则,(*),于是 注意:(1)(*)处没有加,这是因为我们取了最简单的情况。(2)若设,,则,积分比积分要复杂,没有达到预期目的由此可见,选择非常关键,一般要考虑下列两点:(1)要易求;(2)积分要比积分易计算练习:求

3、例2计算不定积分 分析:此为一个函数的积分,当然不能使用凑微法、换元法积分,可是不满足两函数乘积,能否用分部积分公式呢?其实只需要将被积函数看作即可。 解:设,则,于是 注意:学习数学重要的是记忆、理解公式,更重要的是灵活应用。例3计算不定积分。 解 设;则,于是 练习:求。例 4. 计算不定积分解 设 ,则,于是 注意: 如果要两次分部积分,选取要一致,否则会还原例5计算不定积分解: 好像进入了死胡同,实则不然,令,则上式变为: 练习:求。从这几个典型例题可以看到,一般情况下, 可按下列规律选择:(1)形如,(其中为正整数)的不定积分,令,余下的凑成。(2)形如,时,令,余下的凑成。(3)形如 的不定积分,可以任意选择与,但由于要使用两次分部积分公式,两次选择与应保持一致,只有这样才能出现循环公式并求出积分。说明(1)用分部积分法的情况不止于此,总的原则是适当选取及,使更加便于积分 (2)一般被积函数是不同类函数函数乘积时,往往想到用分部积分法例6求的递推公式,其中为正整数,并求出。解:因此可得的递推公式为 其中,那么有 例7计算不定积分解 4小结 1、分部积分公式2、在分部积分的公式中,的选取。 3、结合其他的积分方法灵活的使用公式。作业:习题43()1、4、5、7、8、9、10

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