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1、1,第五章 有限元法,内容：基于变分原理，介绍有限元法。以线性静态场中一阶有限元的应用为重点，引伸到非线性场、时谐场中的分析，以及等参数有限元法的应用。,2,特点,能处理复杂区域和复杂边界条件的求解问题。是求解微分方程的系统化数值计算方法。比传统解法具有理论完整可靠.物理意义直观明确.解题效能强。,3,历史,历史1943年Courant提出有限元思想。20世纪50年代初期，有限元法在复杂的航空结构分析中最先得到应用，1960年Clough(克拉夫)在其著作中首先提出有限元法（finite element method，简称FEM）这个名称。,4,应用,以变分原理为基础的有限元法，因其理论依据的
2、普遍性，广泛地被应用于各种工程领域：热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等。,5,电气工程领域的应用1965年Winslow首先将有限元法应用于电气工程问题，1969年Silvester将有限元法推广应用于时谐电磁场问题。至今有限元法已经成为各类电磁场、电磁波工程问题定量分析与优化设计的主导数值计算方法，是构成各种先进、实用计算软件包的基础。,6,5.1 概述,基本思想：传统的有限元法以变分原理为基础。首先把所要求解的微分方程数学模型边值问题，转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值问题，即最终归结为
3、一组多元的代数方程组；解之即得待求边值问题的数值解。,7,有限元法的核心在于：剖分插值。将连续场分割为有限个单元，然用比较简单的插值函数来表示每个单元的解，但是，它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件，而是在全部单元总体合成后再引入边界条件。这样，就有可能对于内部和边界上的单元采用同样的插值函数，使方法构造极大地得到简化。,8,此外，由于变分原理的应用，使第二、三类及不同媒质分界面上的边界条件作为自然边界条件在总体合成时将隐含地得到满足。即自然边界条件将被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单独列出，惟一需考虑的仅是强制边界条件（第一类边界条件）的处理，进一步简化了方法的构造。,9,有限元法的
4、主要特点是：（1）离散化过程保持了明显的物理意义。因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等）。故基于问题固有的物理特性而予以离散化处理，列出计算公式，应当可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。,10,（2）优异的解题能力。与其它数值计算方法相比较，有限元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质变异情况复杂的问题求解上，有突出的优点。即方法应用不受上述二个方面复杂程度的限制。不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的；二、三类边界条件不必作单独的处理。此外，离散点配置比较随意，并且取决于有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，
5、可以充分保证所需的数值计算精度。,11,(3)可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的子程序集合，适应计算功能延拓的需要，从而即可构成各种高效能的计算软件包。(4)从数学理论意义上讲，有限元法作为应用数学的一个重要分支，很小有其它方法应用得这样广泛。它使微分方程的解法与理论面目一新，推动了泛函分析与计算方法的发展。,12,有限元法的内涵也在不断延拓：自从1969年以来，在流体力学领域中，通过运用加权余量法导出的伽辽金法或最小二乘法同样得到了有限元方程。为提高数值解的计算精度，在高阶有限元法的应用范畴中，除了常用的基于拉格朗日多项式构造基函数的等参数有限元法外，还延拓构成了以B样条函数基为基函
6、数的B样条有限元法。B样条有限元法的提出，不仅保证了以位函数为待求量的数值解的高精度，而且保证了与物理场特性相一致的场量数值解的连续性。,13,把有限元法与其它数值方法相结合而构成的组合法，经常是解决特定问题的有效途径。例如，鉴于三维静态磁场分析的需要，由有限元法与数值积分法相组合而成的单标量磁位法，校正了三十余年来简化标量法有误的构造模式。数学理论的发展也为有限元法注入了新的活力，1970年，以A.M.Arthurs为代表提出了互补变分原理，形成了泛函的所谓双边值问题，产生了互补、对偶有限元法。这样，通过泛函极大与极小值问题的近似数值解，简单地求其算术平均值，即可获得充分逼近真实解的理想计算
7、结果。,14,5.2 变分原理,从介绍有关泛函、变分问题和变分法等数学概念着手，阐述有限元法的变分原理，为有限元法基本原理的讨论提供必要的数学基础。以加权余量法为基础导出的伽辽金有限元法则将在矩量法中展述。,15,5.2.1 泛函与变分问题,数学上，通常变量与变量间的关系称为函数，而泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数。例如，静电场的势函数f(r)是定义在坐标空间的函数集，系统电场总能量U(r)则是定义在该函 数集中的一个泛函，可记I(r)。,16,与多元函数的极值问题相对应，在几何、力学上的求解泛函极值的问题。最速降线问题。研究当质点从定点A自由下滑到定点B时，为使滑行时间最短，试求质点
8、应沿着怎样形状的光滑轨道y=y(x)下滑。取A点为坐标原点，y轴竖直向下（图5-1）。则沿曲线y=y(x)滑行线段ds所需的时间为,17,因此滑行的总时间为可见，积分值J=Jy(x)不仅取决于定积分的两端点x1和x2，而且取决于函数y=y(x)的选择。对照函数的定义，变量J值取决于函数关系y(x)，因此J是函数的函数，是含义更为广泛的函数，故称之为函数y(x)的泛函，记作Jy(x)。于是最速降线问题，在数学上，就归结为研究泛函Jy(x)的极值问题，即,18,泛函的极值（极大值或极小值）问题就称为变分问题。对于一般问题，对应于一个自变量x的最简形式的泛函：式中，F为单个自变量x、单个函数y(x)
9、及其导数y(x)的已知函数。对照函数的定义，泛函Jy的自变量不是一般的自变量，而是一个或几个函数所属的函数族y(x)。,函数极值，求值；泛函极值，求函数,19,在最速下降问题，在端点x1和x2给定的无数个函数之中，仅有一个函数 能使式（5-2a）中的定积分达到极小值函数，这一函数 被称为极值函数。所谓变分问题就在于寻求使泛函达到极值的该极值函数，即分析研究泛函的极值问题。物理学各分支都存在有相应的变分问题（变分原理），例如分析力学中的哈密顿原理、最小作用原理，静电学中的汤姆逊定理，光学中的费尔马原理等。最优控制论等，变分原理也有重要的应用。,20,5.2.2 泛函的变分与尤拉方程,变分问题的经
10、典解法可归纳为两大类。一类称为直接解法，其思想在于把泛函的极值问题近似地转化为一般多元函数的极值问题，用有穷维子空间中的函数去逼近无穷维空间中的极值函数，从而近似地求得泛函的极值。例如：瑞利里兹法、康脱洛维奇法、伽辽金法等；另一类称为间接解法，即把变分问题转化为微分方程（所谓尤拉方程）的定解问题（边值问题）来求解。,21,有限差分法在理论上没有以变分原理为基础，因而其收敛性和数值稳定性往往得不到保证。有限元法是里兹法与有限差分法相结合的成果，它在理论上以变分原理为基础，在具体方法构造上又利用了有限差分法网格离散化处理的思想。,22,有限元法的变分原理第一步与传统的变分法一样，首先把待求的边值问
11、题转化为等价的变分问题，然后通过有限单元剖分的离散化处理，构造一个分片解析的有限元子空间，把变分问题近似地转化为有限元子空间中的多元函数极值问题，由此直接探求变分问题的近似解（极值函数解），以此作为所求边值问题的近似解。下面从有限元法构造的需要出发，导出变分问题的解答（极值函数）所必须满足的必要条件尤拉方程。,23,最简泛函的变分问题分析由式（5-3）给定的最简形式泛函的变分问题，即设想函数y(x)稍有变动，记作y+dy（dy称为函数y(x)的变分，它反映了整个函数的变化量，显然有别于描述同一函数y(x)因x变化而引起的函数增量Dy），则泛函Jy的值也随之变化，其相应于函数dy的泛函增量为,变
12、分问题(泛函极值)变分方程尤拉方程,因讨论的是y的变化,24,设函数F充分光滑，则由多元函数的泰勒公式可将上式展成式中，作为泛函增量DJ的线性主部 称为泛函Jy的一次变分（简称变分）。d2J、d3J、分别是函数变分dy及其导数dy的二次、三次、齐次式的积分，依次称为二次变分、三次变分、,25,设待求变分问题（5-4）的解答（极值函数）为 y=y(x)（5-7）设想函数y从极值解（5-7）稍稍变动到y+dy，并把变分dy改记为：eh(x)，e是一个任意给定的微量实参数（实变量）；h(x)是定义于区间x1，x2，且满足齐次边界条件的任意选定的可微函数，即有：h(x1)=h(x2)=0。则泛函Jy+
13、eh=Jy(x,e)=j(e)成为参数e的函数，因为参数e的值确定了y=y(x,e)函数族里的曲线，所以同时也就确定了泛函Jy(x,e)的值，而且当e=0时泛函即获得极值函数的解。,e是对y的增量，不是对x.对于泛函，不妨把x看成常数,因y是x的函数，但讨论的是y的变化,26,根据微积分学可知，函数j(e)在e=0时取得极值的必要条件是由于因此式中,j即为J,27,故可得简写为将上式与式（5-6）相比较，只相差一个数值因子e。,28,故（5-8）等价于变分方程也即利用分部积分，根据变分与微分顺序可以互换的原理，即dy=(dy)，得,（线性主部）,29,在变分问题中，变分dy在端点保持为零于是，
14、必要条件（5-12）成为由于上式对任意的dy都成立，所以极值函数必须满足以下微分方程这个方程就称为对应于由式（5-4）给定的最简泛函极值问题的尤拉方程。,30,(1)多变量泛函的变分问题之一（第一类边值问题）若设待求极值函数u(r)=u(x,y,z)为一多变量的函数，则其与式（5-4）对应的变分问题可表示为同前理，设函数变分du(r)=eh(r)，并注意到如,等,31,则其泛函变分为通过应用如下向量恒等式以及高斯散度定理，即且考虑到面元,类似于(5-6)由泰勒展开,32,则由（5-15），极值函数u(r)须满足如下的变分方程因为e为微量实参数，由h(r)的随意性，可知上述变分方程（5-16）的
15、解必等价于以下边值问题的解答，即式（5-17a）称为对应于式（5-14）给定的变分问题的尤拉方程，而式（5-17b）即为相应的边界面s上所给定的边界条件。,33,可见，对于“固定端点”的变分问题，即应等价于如下的第一类边值问题（此时，）：,因变分方程不含第一类边界条件,故应加上.,34,例5-1 静电学中汤姆逊定理的数学描述。变分原理的应用实质上是对物理学定律的一种重新描述。对于电、磁场边值问题而言，静电学中的汤姆逊定理即是描述静电现象的“最小作用原理”。定理指出，处于介质中一个固定的带电导体系统，其表面上电荷的分布，应使合成的静电场具有最小的静电能量。,35,任一由n个带电导体构成的二维具平
16、行平面场特征静电场的能量积分式为其中对照式（5-14），（5-20a）所示的能量积分即是一类取决于二元电位函数j(x,y)分布的泛函。因而，根据汤姆逊定理，对于二维静电场，其规律性就归结为下述变分问题：,36,故其极值函数j(x,y)的解答应满足尤拉方程（5-19a），并在边界上应满足条件（5-19b）。将式（5-21a）中函数F进行尤拉方程（5-19a）相关各项的运算，即得与变分问题(5-21a)对应的尤拉方程为可见，由条件变分问题（5-21a）、(5-21b)给出的极值函数j(x,y)应满足具有给定边值（5-21b）的拉普拉斯方程（5-22）。显然，式（5-22）和（5-21b）一起即构成
17、众所周知的第一类边值问题，而在物理意义上该边值问题即表征为静电学中的汤姆逊定理。,37,与例5-1相仿，通过尤拉方程，可知与下述变分问题等价的边值问题为上式即为二维具有平行平面场特征的泊松方程的第一类边值问题。,38,(3)多变量泛函的变分问题之二（第二、三类边值问题）若在式（5-14）所示变分问题的基础上，再添加一项由面积分表述的泛函，即令式中，积分面s即为积分域v的界面。则同前理，参照式（5-16）导出过程，可得其变分方程为,39,上述变分方程的解必等价于以下边值问题的解答，即,40,可见，若设变分问题为则根据变分方程dJ=0，由其对应的尤拉方程的定解问题式（5-27a）和(5-27b)，
18、可知与上述变分问题（5-28）等价的边值问题为上式即为泊松方程的第三类边值问题。,41,若令第三类边界条件式（5-29b）中的f1(rb)=f2(rb)=0，则得如下泊松方程的齐次第二类边值问题：不难看出，其等价变分问题可基于式（5-28），通过令该式中f1=f2=0，得知为,42,可见，第二或第三类边界条件在变分问题中被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单独列出。还可证明，场域内不同媒质分界面上的边界条件也包含在泛函达到极值的要求之中，且系自动满足，不必另行处理。因此，常称这些边界条件为自然边界条件，而相应的变分问题（5-28）或（5-31）称为无条件变分问题。,43,但对于第一类边界条件，
19、则在变分问题中与在边值问题中一样，必须作为定解条件列出。换句话说，变分问题的极值函数解必须在满足这一边界条件的函数类中去寻求。因此，称这类边界条件为强制边界条件，而相应的变分问题（5-18a）、（5-18b）或（5-21a）、（5-21b）或（5-23a）、（5-23b）称为条件变分问题。,44,可以看出，与能量积分对应的泛函Jj，二次地依赖于函数j及其偏导数，故又称Jj为函数j的二次泛函，而相应的变分问题即称为二次泛函的极值问题。对于磁场问题，同样可构成由标量磁位jm或向量磁位A所描述的二次泛函Jjm或JA，得到与给定边值问题等价的变分问题。,45,函数变量j的求取,由上可见，求泛函的极值和
20、解欧拉方程，在数学上都可以代表同一个物理问题。对两者求得近似解都具有同样的效果。但是在实际计算中，对后者求解往往是困难的，而对前者求近似解则常常并不太困难。因此常利用对泛函离散化的有限元法求解场函数j。,46,有限元法须先估计j函数的形式。一般来讲,精确估计出此泛函在极值情况下j函数的形式是不可能的。但是原则上可以采用猜测出的函数近似表示j(x,y,x,),其中 对应于N个未知的参数qi,再计算泛函I(j)，然后用取最小值的条件得到N个方程,这个方程组可用来求出参数qi的解。,47,有限元法是将网络节点上的函数j的离散值作为参数,网络元(剖分元)内的函数值则采用多项式插值从周围临近节点上的这些参数值求出。例如,选择用三角形元将求解区域划分为子区间的网络，对泛函I(j)求极小值,就得到节点上未知的势函数的值，然后采用线性插值法，则可以求出在一个三角形元内的任意一点(x,y)上的函数值。有限元法的最后解是函数在这些节点上的估计值。由于用来求泛函极小值的函数是近似的线性迭代函数,因而所得到的节点上的函数值并不是精确解。该截断误差可以通过减小元的尺寸或提高迭代函数的阶数来降低。,
